RA

RA

407 ‘

i a x 4 •— G8 x 3 97 x 2 -f- 7 x — 3o = o

l’équation, et qu’on a ainsi pour la limite des racines

dont le dernier terme 3 o a pour diviseurs 1, 2, 3 , 5 , 6,10, i 5 , 3 o. La substitution de -}- 1 et de — 1 donned’abord

12 — 68 97 -f- 7 — 3o= 18

12 -J- 68 -f- 67 — 7 — 3o = 140

puis, eu appliquant la règle du n° i 5 , on trouve que lesfacteurs à essayer se réduisent à -J- 3 , — 2* Voici lecalcul ;

+ 3 , — 2

— «o, + l5 %

— 3 , -f- 22

— 1, — 11+ 96 , + 86+ 32 , -j- 43

— 36, — m

— 12, »

l’équation proposée n’a donc qu’une seule racine entièrequi est -]- 3 . En la divisant par x — 3 , on obtient l’é-quation

12 x 3 — 32 x* -|- x -J- 10 =0

qui renferme les trois autres racines de la proposée.

Cette dernière pouvant encore contenir des racinescommensurables, non plus entières, mais fractionnaires,

Y

on fera disparaître le coefficient 12 en posant x — —,et l’on obtiendra une transformée en y,

y 3 — 32 * 2 + 12 x -f- 144° = o

qui, étant traitée comme ci-dessus, fournira les racinesy — 8, y = 3 o et^ = 6 , d’où l’on conclura que lesracines de la proposée sont,

3

12

ou 3 ,

2

3 ’

1

2’

19. Si une équation proposée renfermait des racinesentières égales, les méthodes que nous venons d’ex-poser ne feraient trouver qu’une seule de ces racines,et ce n’est qu’en abaissant le degré de l’équation parladivision , lorsque celte racine serait connue, qu’onpourrait, en opérant de nouveau sur l’équation réduite,tiouver une autre de ces racines égales, et ainsi desuite. Soit par exemple, l’équation

x 5 — 19 x 3 .— 34 a;» + 12*4-40 = 0.

Les facteurs de 4 o sont 1 , 2 , 4,5 , y, jo, 20 et 4 ° ;mais comme le second terme manque, on doit observerque le premier terme négatif n’est que le troisième de

positives \/34 -f- 1 ou 7, et pour celle des racines né-

g

gatives — \/i9— 1, ou— 6, il suffit donc d’essayerles facteurs 2,4, 5 et — 2, — 4 > — 3 . Les calculaeffectués, en observant de tenir compte du coefficient ode x 4 , on trouve une seule racine 2.

Divisant l’équation proposée par x — 2, il vient

x 4 -)- x 3 — 5 x 2 — 24 X — 20 = o

équation qui fournit encore, par l’application des mêmesprocédés, une racine x = 2. Divisant de nouveau parx-j- 2 , on trouve

x 3 -f- x 2 — 7 x — 10 = 0

qui fournit également une racine x = 2. Enfin, unetroisième division par x — 2 donne l’équation

x 2 — x — 5 = o

qui n’a plus de racines commensurables. En la résolvantpar la méthode du second degré (voy. Quadratique) ,on obtient enfin les 5 racines de la proposée, et l’onvoit que cette équation est identique avec

(x- 2) (x- 2) (x-2) (2X— I +\/2 I ) (2X- 1-V/ 2 1 )=° ■

Les racines égales commensurables s’obtiennent tou-jours sans difficulté en opérant comme nous venonsde le faire ; mais il n’en est pas ainsi des racines égalesincommensurables, dont la présence dans une équationcomplique les difficultés de la recherche des autres ra-cines incommensurables. Nous allons indiquer la théoriedes racines égales , en général.

20. Racines égales. Si nous désignons par X = o ,une équation d’un degré quelconque et que a soit unede scs racines , nous savons que X doit être exactementdivisible par le binôme x — a. De plus, en désignantparX'le quotient de cette division nous savons encoreque si la racine a se rencontre deux fois dans l’équa-tion X = o, x — a devra diviser exactement X',et qu’en désignant le quotient de cette dernière divi-sion par X" , X" sera exactement divisible par x — a ,si a est trois fois racine dans X= o, et ainsi de suite.

Ainsi, dans le cas d’une racine double, les deux équa-tions

X = o, X' = o

doivent subsister en même temps, c’est-à-dire être sa-tisfaites par une même valeur de x, tandis que si Xn’a pas de facteur double, il e t impossible d’avoir enmême temps X = o et X' = o. De même , si X a unfacteur triple , les trois équations

X = o, X' =0, X" = odoivent subsister en même temps.