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RA

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Ceci pose, examinons la forme du quotient X', qu’onobtient en divisant X par le binôme x — a , et, pourcela , posons

X = x m -f- Ajt" 1 —»+ Bar™—* -j-etc... -fQx’-J-Rx+S.

En opérant la division jusqu’à ce que l’on trouve unreste qui ne contienne plus x , ce reste qui est

a”' -f- Aa"‘—i + etc. ■. + Qa + Ra -f- S ,

ou ce que devient X lorsqu’on y met « à la place de x,se réduit évidemment à zéro lorsque a est racine de X jmais nous n’avons à considérer ici que le quotient dontles termes sont :

z m ~i

-J- (A-| -a)x m —*

-j- (B-J-Aa-|“ al ) x m ~ 3-f- (C-l-Ba-j-Aa’-f-a 3 ) x"'—4-J- (D-j-Cfl +Ba’-j-Aa 3 -)-^) x m —5

-j- etc.etc.

Or, si a est une racine au moins double de l’équationproposée, il faut que ce quotient soit lui-même divisi-ble par x — a et qu’il se réduise à zéro, en mettant a àla place de x, ou x à la place de a.

La substitution de a: à la place de a donne à ce quo-tient la forme

x m ~ 1

i k_x m —*

_j_ x m —i _|_ Aar'"-* -|~ Bx m ~ i

_J_ x m —I _j_ Ax m —* -j- Bx"'— 3 -f- Cx! w—4

-f- etc. 4* etc.

_!_ x rn ~J _j_ aB a:"‘-3-|-Ca;' n -4-f-etc.-fQa;-|-R.

et, comme le nombre des termes du quotient est m , cequotient est la même chose que

mx m 1 -f- (ni—i) kx m —> -f- (m—a' Bx m ~* -f- etc_

+ 2Qx -J- R.

ai. On voit aisément que cette fonction est ce quedevient la fonction proposée X, lorsqu’après avoirmultiplié chacun de ses termes par l’exposant de lapuissance de x qu’il contient, on le divise par x. Ainsi,désignant encore par X' le quotient de la division deX par x —fl, après qu’on y a substitué or à la place dea , on obtiendra directement X', sans avoir besoin derecourir à la division , en dérivant ses termes des ter-mes de X comme il vient d’être dit. Par exemple , siX était

x* -f- px z -f- qx* -f- rx -j- s

X' serait

de#®, et qu’en multipliant par o ce terme disparaît,de sorte que la règle de dérivation est générale.

22. Désignons maintenant par n le nombre, et parNie produit des facteurs simples et inégaux que peutrenfermer la fonction X ; par o le nombre et par Ole produit de ses facteurs doubles ; par p le nombreet par P le produit de scs facteurs triples , et ainsides autres. De cette manière la fonction X sera iden-tique avec le produit N.O’.P 3 .Q 4 . etc.

Comme la dérivée X' est ce que devient le quotientde la division de X par le facteur simple x — a, aprèsqu’on y a mis a; à la place de a , il est évident que lafonction X, en passant à l’état X', perd tous ses facteurssimples , et que ses. facteurs doubles ne se trouvent plusdans X' que comme facteurs simples , scs facteurs tri-ples comme facteurs doubles , et ainsi de suite.

La fonction dérivée X' est donc égale au produit

O.P a .Q 3 .R 4 .etc. , multiplié par quelque fonction ra-tionnelle de x , que nous désignerons par X, , et dontles facteurs égaux ou inégaux scion* différons de tousceux de la fonction X.

Le plus grand facteur commun entre X =N.O\P 3 .Q‘.R 5 . etc. etX'=X,.O.P’.Q 3 . etc, ou leplus grand commun diviseur entre X et X' ne peutdonc être que O.P’.Q 3 .R 4 , etc. Ainsi, rn désignantpar Y ce plus grand commun diviseur, qu’on obtientpar les procédés indiqués au mot commun diviseur, onaura

Y = O.P’.Q 3 .R 4 . etc.

23. Y’désignant la dérivée de Y, comme X' celle deX, celte dérivée sera, paria même raison,P.Q*.R 3 .etc.multiplié par quelque autre fonction rationnelle de Y,que nous désignerons par Y,, et dont les facteurs serontdifférons de tous ceux de Y. Ainsi ayant

Y=O.P’.Q 3 .R 4 . etc., Y'=Y,.P.Q’.R 3 . etc.

ces deux fonctions ne pourront avoir de diviseur com-mun plus grand que P.Q’.R 3 .S 1 , etc. , et si l'on dési-gne par Z ce plus grand commun diviseur, on auraZ = P. Q*. R 3 . S 4 . etc.dont la dérivée sera Z' = Z, .Q.R’.S 3 . etc.

24- Poursuivant de la même manière , aussi long-temps que la fonction dérivée ne sera pas réduite àl’unité, on aura les égalités suivantes :

N. O 1 . P 3 . Q*. R 5 , etc. = XO. P’.Q 3 .R 4 .etc. = Y

P. Q\R 3 .ctc. = Z

Q. R*.etc. = U

R. etc. = V

4•Z' 3 + 3 px* -f- 2 qx -f- r.

U faut observer que le terme absolu j est le coefficient

et ainsi des autres.

Divisant chacune de ces équations par celle qui lasuit immédiatement, on aura