HA

RA

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N.O.P.Q.R. etc. = y

et pour celui de ses facteurs triples

P = x-f- 1.

O.P.Q.R.etc. = J

L’équation proposée est donc identique avec le pro-duit

P.Q.R.etc. p

(x* + x— 2).(x 4 —X-j-2) a .(x-j-1) 3 = 0,

Q. R. etc. = y

et en réduisant N et O en leurs facteurs du premierdegré, ou en résolvant les équations N = 0, O = 0 ,on voit que les neuf racines de la proposée sont :

etc. = etc.

Pnfiii, divisant de nouveau chacune de ces dernières,> ' u celle qui la suit, on trouvera

x= - 2, x= 1, x = J - i v-7 >

x =— --{--y/ —li x== — -+ -\/—7, x=—1,

^=N

Y* ”

X = — I, X— — I.

a5 . Racines incommensurables. Lorsqu’une équa-tion d’un degré supérieur au quatrième ne ren-

ferme ni racines commensurables, ni racines égales,ou qu’après l’avoir dégagée des unes et des autres de

etc. = etc.

ces racines , son degré dépasse encore le quatrième,

équations à l’aide desquelles on obtient, à part, le pro-duit des racines simples, celui des racines doubles,celui des racines triples, etc. de toute fonction ralion-nelle proposée.

Proposons-nous, pour montrer l’application deces formules, de trouver les facteurs multiples de lafonction X — x 9 -j- 2X 8 -J- x? 6x 6 -}- ’jx 5 — 2x 4 -)- 3x 3+2*’ — i2x — 8.

La dérivation donne X' = gx 8 -f- 16 x? -{-yx 6 36x 5“1“ 55 x 4 —8x 3 -j-gx* -(-4* — 12 ; et en cherchant leplus grand commun diviseur entre X et X', on trouve

il n’existeaucun moyen direct connu d’obtenir ses raci-nes, et il faut alors avoir recours aux méthodes d’ap-proximation. Nous avons fait connaître au mot approxi-mation les procédés par lesquels on arrive à la con-naissance des valeurs approchées des racines réellesincommensurables, procédés souvent préférables pourles équations des troisième et quatrième degrés auxexpressions théoriques des racines qui se compliquentsouvent de quantités imaginaires (voy. Cas irréductible).Nous indiquerons donc seulement ici la marche qu’ilfaut suivre dans la recherche des racines imaginaires.Soit toujours

Y = x 4 + * 3 -f + 3x + 2.

x”>-j-Ax m — 1 -f- Bx ra - 3 -{-etc... -{- Px 1 -{-Qx-f-S = 0

®n a donc aussi

une équation du degré m.

Y' = 4x 3 + 3x> + 2X + 3

Si cette équation renferme des racines imaginaires,comme la forme de toute quantité dite imaginaire (voy.

cherchant de nouveau le plus grand commun diviseurentre Y et Y', on obtient

ce mot) est a-\-b\/ —1, substituons a à la

place de x , et nous obtiendrons

Z = x-J- 1 ,

dont la dérivée est Z' t-= 1. Le plus grand commun di-viseur entre Z et Z' est donc U = 1 , et l’opération estterminée.

Substituant ces valeurs de X, Y, Z, U dans leséquations précédentes , on trouve, pour le produit desfacteurs simples de la proposée,

(a b\/—i) m -f- A(a -J- b\/ —i) m -i -{- etc.. 4+ Q( 3 + b \Z~i) +S = o.

En développant les puissances des binômes et endésignant par M la somme des termes réels, et par Ncelle des termes où se trouve y/ — 1 > nous parvien-drons à l’égalité

N — x a -}- x — 2 ;pour celui de ses facteurs doubles,

O = x’ — x -|- 2 ;

m + nv— T = 0

qui ne peut évidemment subsister , à moins que l’onn’ait séparément

TOUS II.

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