RA

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obtenir directement l’expression différentielle du rayonosculaleur d’une courbe quelconque de la manière sui-vante: soit B/71 ce rayon, (PL 56, fig. 5) et mm' un arcnSniment petit, commun au cercle osculateur et a lacourbe AM. Menons les droites qu’on voit dans lafigure, et du centre B décrivons l’arc po infinimentpetit. Les triangles mm'n et opq seront semblables,étant rectangles l’un en n et l’autre en o , et ayant deplus les angles égaux m'mn , opq ; ils donnent la pro-portion

mm' : mn : : pq : po

d’où

mm —po

\/\dx'-\-dy] —

dx'+dy'+ydy

\/[dx'-\-dy'\

yd'y

\z[dx'-\-dy \’

cette proportion nous donne

Vl&.+^v Wr ia

wiB =

y d'y

\Z[dx'-\-dy]

ce qui se réduit définitivement à (i)

pq ==

mm'Y, po

mn

•nais pq est l’accroissement que reçoit A p lorsque lanormale mp devient m'q , c’est-à-dire lorsque l’arc kmcroît de mm' , ainsi pq est la différentielle de Apj etcomme de plus kp est égal à l’abscisse kp', plus la sous-uormale p'p , en désignant kp' par x et mp' par y , nousavons (voy. Sous-normale)

pq = d(x -j- sous normale) = d(x

et par suite

d ( , yj_y\ _ mm'Ypo _ V{dx'+d y')'

V. ' dx J mn dx ’ ^

en remplaçant l’arc mm' par son expression

\/(dx' + dy').

{Voy. Rectification.)

Dégageant po , il vient

dx. d

po ==

[* + 2 ]

ÿ [dx'+dy 1 ]

Or, en supposant dx constant,

J , ydy\ = dx'+dydy+ydy

L e/jp J dx

Ainsi, substituant dans po , on trouve

_ dx'+dy'+yd 'yP° ~ \/[dx'-\-dy'\

Maintenant, les triangles semblables mB/n' , pBo don-nent

mm' — po . mm , .. : »jB

et, comme «iB ___ . ,

’ P° — mp — normale, d ou (voy.

SOUS'NORMALE)

wB—nB==-21kl K x ’4- f i f r’ldx -

_ _ (rfg’-Hr) *

^ dxd'y

en désignant par p le rayon de courbure.

Si n’avions pas supposé dx constant, nous aurionsobtenu

_ ylx'-^dy') '

^ dyd'x — dxd'y

Le signe— de l’expression (i) est relatif à la positionde p que l’on considère comme positif lorsque la courbetourne sa concavité vers l’axe des x ; en effet, dans cecas d'y est négatif, et p devient positif. Lorsqu’au con-traire la courbe tourne sa convexité vers l’axe des x ,l’expression (i) doit être affectée du signe -j- , commenous l’aurions trouvé en construisant notre figure avecces conditions : ainsi les expressions générales du rayonosculaleur sont

_ _ (dx'+dy'Y

^ dxd'y

p = -u [d x'+dy'f° dyd'x — dxdy

Yoyczaumot Courbure les applications de ces formules.

On arrive à ces expressions du rayon osculateurd’une manière plus générale et plus élégante par lathéorie du contact des courbes, mais nous devons ren-voyer aux traités de calcul différentiel et particulière-ment à celui de Lacroix.

Rayon vecteur. Ligne aroite qui va du foyerd’une courbe à un point de son périmètre. C’est, euastronomie, la droite tirée du centre d’une planète aucentre du soleil, ou plus généralement la droite tiréedu centre d’un astre à son centre de révolution.

Rayon visuel. Ligne droite suivant laquelle l’œilse dirige en visant un objet au travers des pin-nules d’une alidade ou au travers d’une luoettc dans lesopérations de la géométrie pratique.

et que de plus