RE
/[<*] = i'.
Ainsi le problème est ramené à trouver l’expression dela différentielle d’un arc de courbe donné.
Or, quelle que soit la courbe dont AQ (PI. 55 , fig. 5 )est un arc, si nous supposons que cet arc croisse d unequantité infiniment petite QQ’, comme alors l’abscisseAP devient AP’ et l’ordonnée PQ devient P'Q r , sinous menons Q ni parallèle à l’axe des abscisses, nousaurons un triangle rectangle QwQ' dont les trois cotéssont respectivement les différentielles de 1 abscisse, del’ordonuée et de l’arc, savoir : Q/« = PP', différen-tielle de AP j Q'm, différentielle de PQ, et QQ', dif-férentielle de AQ. Nous avons donc, en désignant l’abs-cisse par x, l’ordonnée par .g et l’arc par s
ds * = dx* + dy , d’où ds — \/{dx'+dy).
Telle est l’expression générale de la différentiellede l’arc en fonction des coordonnées rectangulaires.Ainsi, l’équation d’une courbe quelconque étant donnéeil s’agit d’en tirer la valeur de dix* ou de dy% de lasubstituer dans cette expression et d’intégrer ensuite.C est ce que les exemples suivans vont éclaircir.
2. Problème I. Rectifier la circonférence du cercle.En comptant les abscisses de l’extrémité du diamètre,f équation de cette courbe est
y = 2 ax — X* ,
on obtient en différentiant
2ydy — iadx — ixdx
RE
Air»
pas une courbe rectifiable; ce que nous avons déjà vuailleurs. (J r oy. Quadrature du cercle.)
_j.
En développant (2 ax —x 3 ) a en série et en inté-grant ensuite terme par terme , on obtiendra la sériequi donne la valeur d’un arc de cercle en fonction durayon a , et on déterminera ensuite la constante d’aprèsla position de l’arc; si cet arc commence à l’origine oudoit être o lorsque x — o , la constante sera o.
L’équation du cercle rapportée au centre^* = «’ —£t* conduit à une série plus simple. L’expression qu’ilfaut intégrer est alors
_ JL
s = a J dx[a-> — x u ) a -j -const.
et en prenant l’intégrale depuis x = o jusqu’àx = a,ce qui donne l’arc égal au quart de la circonféreucc , ou
trouve
1 . r . a 3 a . ô.oa
r circonf. =3 a -j- 5 -1- ■— y—= -\ - 7-.- —
4 ^ 2.3^24.5 24.0.7
Le rayon a étant pris pour unité, cette expression de-vient
3 . 5 m , ,
-1- etc...
il ~ 1
3 . 5.7
h,+ elc -
1 ,i ,3 . 3.5
% 7t ~ 2 .3 + 2.4.5 + 2.4.6.7" 1 " 2.4.G.8.9
3 . Problème II. Rectifier l’ellipse. L’équation decette courbe rapportée au centre étantb * , .
r = -, («•-*’)
d’
ou
. {a-ix)dx tdy = , et dy - y
En remettant pour y' sa valeur, on a définitivement
rfr .-_ ( a -™>- d _ x 2
on en tire
et par suite
dy' =
b^x'dx'
ds =
a y/(a’— X 1 )
lax — X 1
Si 1’ on substitue maintenant cette valeur de dy‘ dansl’expression générale de ds , elle devient
ds=\/
V L 2 ax —as* J
adx , . 1
—--- = adxiiax—X )
4/(2 ax —x*) '
on a donc
s — J'dx^’iax —x*) •* -|- constante.
Cette intégrale ne pouvant être obtenue sans une formefinie, il en résulte que la circonférence du cercle n’est
Faisons pour plas de simplicité le demi-grand axe a — 1,comme a* à 3 est le carré de l’exceutrité, que nousdésignerons par e ( voy . Ellipse) , il viendra a’ — b' —
1—e’, et l’expression précédente se réduira à
dx\/{ 1—eV)
~ y/{l-x’) ' ,
(x_ e *x •) v étant développé en série, il faut intégrer
l’expression
dont tous les termes sont de la forme C—
J — x ‘) ’