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plus grands; ainsi en admettant que a soit un nombreplus grand que tous les autres B, -/,<?, etc., et que msoit un très-grand nombre, ou aura à peu près

P — : 1 , Q = a a m

D’où

formons la fraction

a f- Lx1 — ix — x*

dont le développement, en supposant i et 2 pour lesdeux termes, donne la série récurrente

Donc, lorsque la série récurrente aura été prolongéetrès-loin, le coefficient d’un terme quelconque divisépar le coefficient du terme précédent donnera à peuprès la valeur de «, et cette valeur sera d’autant plusapprochée que les coefficiens employés pour l’obtenirappartiendront à des puissances plus grandes de x.

Mais r —ax est un facteur du premier ordre du dé-nominateur i— px — qx* — etc. de la fraction ration-nelle , et lorsqu’on connaît un tel facteur on connaîtaussi une racine de l’équation (a)

i — px — qx* — rx 3 — sx* — etc... = o

i, 2, y, 23 , 76, 2.5i, 829, 2738, etc...

Nous aurons donc pour la valeur approchée de la ra-cine demandée

2738

829

3, 3027744*• •

Or, la plus grande racine de l’équation proposée est

x = ^ -j- ^/> 3 = 3, 3027756...

d’où l’on voit que la valeur trouvée est exacte jusqu’àla cinquième décimale, l' u calculant un terme de plus,dans la série, ce terme, qui est 9043, fournit une va-leur encore plus approchée, car ou a

savoir x = - , donc puisqu’on trouve par la série ré-currente le plus grand nombre a, on obtient en mêmetemps par cette série la plus petite racine - de l’équa-tion (a)

Si l’on fait x — -, l’équation devient (b)

Z

9043

2 7 38

3, 3027709...

Euler a exposé cette méthode en détail dans sonIntroduction a l'analyse des infiniment petits, et La-grange en a fait le sujet d’une des notes de son Traitéde la résolution des équations numériques. Nous de-vons renvoyer à ces ouvrages.

z n — pz m —1 — qz m ~ 2 — rz m ~ 3 — etc... = o

dont la plus grande racine est z = a.

Ainsi en admettant que l’équation ( b ) ait toutes scs ra-cines réelles et inégales entre elles, on trouvera la plusgrande de la manière suivante : Prenez à volonté desnombres a, b, c, d, etc., et avec ces nombres et lescoefficiens de l’équation proposée formez la fractionrationnelle

“+ bx + ex* -f- dx 3 -}- e tc.

1 — px — qx* — rx i — sx* — etc.

ou, ce qui revient au même, prenez à volonté les mpremiers termes d’une série récurrente et formez lessuivans avec l’échelle de relation.

etc... +s, -f r, -f q, fi-p

prolongez suffisamment cette série ; le quotient ducoefficient de 1 un de ses termes par le coefficient duterme précédent donnera la valeur approchée de laplus grande racine.

Par exemple, soit à trouver la plus grande racinede l’équation

x’ — 3x — 1 = o. '

RÉDUCTION. C’est, en général, dans la science desnombres , la conversion d’une quantité en une autrequantité équivalente exprimée plus simplement. Par

exemple

3 na 3 b*

se réduit à :lab en retranchant les

1 5 a* b

Facteurs communs aux deux termes.

Quelques auteurs ont distingué les réductions , pure-ment arithmétiques, en ascendantes et descendantes.La réduction ascendante est celle qu’011 opère lorsqu’onexprime en unités d’une plus haute désignation unequantité donnée en unités d’une désignation inférieure.Telle est la réduction de 120 secondes en 2 minutes. Laréduction descendante est le contraire, telle est celle de24 pieds en 4 toises. Ces deux espèces de réductionss’effectuent toujours , la première par des divisions etla seconde par des multiplications. Comme elles sontd’un usage habituel dans les calculs, nous allons endonner quelques exemples.

1 . Réduction ascendantè. Pour réduire une quantitédonnée, dont les unités sont d une désignation quel-conque, en une autre d’une désignation supérieure, ilfaut préalablement connaître le rapport qu’il y a entreles unités de chacune de ces désignations; ainsi, parexemple, pour réduire 155 schellings en livres ster -