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|y 3 -f-aD

y 4 + «E

/ 5 +etc <

j -(-25AC

-)- 2ÙAD

-[-etc.

I -f£B*

+ 2 I 1 BC

-|-etc.

-j-2cA 3 B

-f- 3 cA 3 C

-[-etc.

-frfA 4

-|- 3eAB*

-f-etc.

-|- 4«éA 3 B

-[-etc.

4 . eA 5

-(-etc.

-[-etc.

ou Lien , en faisant passer y dans le second membre,o ~'^ah —i) t ^-|-(aB-}- 5 A , )y 3 -(-(aC-(- 2 &AB-f-cÀ 3 }y 3 -(-etc

Ainsi, puisque cette égalité doit avoir lieu, quelle quesoit la valeur dey, on a séparément

ah —i = oaB-|-Z>A* = oaC-J-iAAB-f-cA* = oetc. etc.

équations de conditions à l’aide desquelles on pourraobtenir les valeurs des coefficiens A, B, C, etc. en fonc-tions des coefficiens donnés a, b, c, d, e, etc. Le calculdes neuf premiers de ces coefficiens a été effectué parPhilippe Rubbiani qui s’est assuré par des épreuvesmultipliées de l’exactitude de son travail. Yoici ces va-leurs, elles peuvent servir de formules générales pour•'ctourner une série, de quelque forme qu’elle soit ( 3 ),

I — ~ [i 43 o£ 8 —5oo5at B c-|-2oo2a 1 Z> 5 <tf-[-5oo5a’i 4 c-

— 71 5 a s b 4 e — 2860 cfib^cd -f- 220a 4 /- 3 /— i 43 oa 3 i’e 3 -f- 660a 4 £*ce —j— 33 o a 4 b*d‘

—55 a 5 b‘‘g-\-66oa 4 bc*d— f 1 o a s bçf— 11 o a s bde10 a 6 bh -f- 55 a 4 c 4 — 55 a! 5 cd* — 55 a 5 c J e-|- loa^g-J- ioa 6 df-{- 5 a 6 e y — a~i\K = etc.

Appliquons ces formules au retour de la série

x = 1 + 7 Lx + 777 + 77773 ( L *) 3 + etc *

qui donne un nombre au moyen de son logarithme.(Voy Logarithme, i5.)

En la mettant sous la forme

x-i=Lx+ -- (Lx)* + —5 (Lx) 3 + (Lx 4 )

1 I .2 ' I . 2 . 3 ' ' 1.2 3.4

+ etc.

Nous aurons ici

, 1 1 . 1 1

a—l, b — - ,c=-, ,d = —7, c = -, etc.

’ 3 6 24 J 20

et nous obtiendrons par la substitution de ces valeursdans les formules précédentes ,

A = i, B= —I, C= i, D=— \ , E = ^, etc.d’où

2' 3 ’- 4 1 5 '

N %

L = L [2 b--ad]

D = L. [— 5 i 3 -|- 5 abc — aïd]

E =5 L r 14 b 4 — nab’c -f- Qa'bd-^ Ba’c 1 —'a 3 e]

û 9

F — ~ [—42& 5 -f8 $ab s c —28 a*b’d — ’x^d 1 bc' l -\- r ]aHe

+7 a!cd—a 4 f]

G — [i 32 Ù 6 — 33 o ab 4 c 120 a’Z> 3 ^-|- 180 a'b'c*

— 36 a^b'e — 72 aPbcd -j- 8 a 4 b /— i2a 3 c 3-f- S a 4 ce -}- 4 a 4 d‘‘ — a 5 g]

H = a 7 s t—' 4 2 9 i 7 +i 23 7 a 55 c _ 495 n a 6 V— pgo^iV

+ 1 65 rt 3 i'c+ 4 9 ja 35 >«/_ 45 ^ 4 i./i}_, 65 a 3 Z.c 3—90 a 4 lce — k 5 a'bd'^~ 9 — 45 a 4 c'd

-f 9 u 9 t/+ 9 a 5 de — a 1 'h ]

Lx=(x— 0 — ^ {x— 1) 3 + |(^—i) 3 — ^ — i ) 4 + etc.

Prenons encore pour exemple la série connue

0.3 ~5

sinx = x —

i.2.3 ' 1 . 2 . 3 . 4 .5 1 . 2 .3. 4 . 5 . 6.7

• etc.

Nous ferons, en observant que les puissances pairesde x manquent ,

a=,, ft= 0> C=- ~, d= O, e =J~i:hr ^= 0 > ctc -

et nous obtiendrons, en substituant dans les formules ( 3 ),

3

A = 1, B = o, C = — -5, D == o, E =

2 . 4.5

_ 3.5 T , T _ 3 . 5.7

F * °» G = mtb.? 11 -°' 1 - MreXg etc -

D’où

v = sin

ûn x -1- — - 4. 3 sin5 * _i_ 3.5 sin’x .+ + M-.5 + M-.7M +