PV=-

iio

ni { 2V sin 0 \Z‘)gh — V 1 (1 -j- sin* 0 )

RO

U\

-f- 2sin ij), Y \Z'2g(tl — h) }

\/[cos 2 0 .2gA -J- (sin 0 \/2g-/t— v'r ) 2 ],

la force vive que l’eau possède à cet instant (en ne con-sidérant que son mouvement relatif dans la roue), est

d’action wig-.H fournie par la chute d’eau, si la vitesseeffective de l’eau, au sortir de la roue, est nulle , ou sil’on a

quantité qu’il faudra rendre la plus grande possible ,en réglant les valeurs de y , 0 , V et h. On voit d’abordqu’on doit faire sin y = 1.

Con&rvant toutes les dénominations précédentesnommons de plus

e la vitesse angulaire de la roue ,r la distance à l’axe d’un point quelconque delà roue ,r ' ladistance à l’axe du pointoù l’eau entre dansla roue,r " la distance à l’axe du point où l’eau sort de la roue.

On verra comme ci-dessus que la vitesse relative aveclaquelle l’eau commence à couler le long de l’aube est

VlagH *— 2rr'sin0\/2g7t -f- v’r" 2 ] — vr" = 0 ,

d’où

w?[cos 2 0. igh -)- (sin0 \/igh —vr')*].

Pendant que l’eau est contenue dans la ,'oue, sa forcevive doit augmenter d’une quantité égale au double desquantités d’actions qui lui sont imprimées par la gravitéet par la force centrifuge. La quantité d’action impri-mée parla gravité est wg(H— h). Celle imprimée parla force centrifuge est

r»

mv'd.r.r = ~ mv ï (r"‘‘ — r' 2 ).

r'

Par conséquent la force vive de l’eau doit devenir

»i[cos 2 0.2gù + (sin0\/2g/t— vr') 2 ] + 2mg(H — h)

-f- rm<*(r"*—r' 2 ) ,ou

/?)(2gH—2vr'sin0i/ 2 g A ■+• t'V' 2 ).

Sa vitesse effective, à l’instant où elle quitte la roue estdonc, en supposant sa direction horizontale ,

VbgH — 2w'sin0i/2g-/t r 2 r" 2 ] — vr".

La force vive qu’elle possède alors est égale à m mul-tipliée pai le quarré de la vitesse. Egalant cette forcevive à awgH—2P.v r ', 0 n a

P.vr'=m j vr'sin0y/2g/j—v’r" 2

+ vrVbfiH—2vr'sin0V/2gÀ -f- v*r"] } .

Cette valeur de la quantité d’action transmise à laroue sera la plus grande possible, et égale à la quantité

sin0Y/2g7i ’

Cette valeur de V est celle qui rend nulle la vitesseeffective de l’eau au sortir de la roue.

Des trois quantités V, 0, h , il y en a deux arbitraires.La troisième étant réglée conformément au résultatprécédent, la plus grande quantité d’action possible setrouvera transmise à la roue.

La valeur théorique de cette quantité d’action estcelle même représentée par la chute d’eau.

10. Les roues où l’eau ne choque point les aubespeuvent donc, d’après la théorie, transmettre une quan-tité d’action double de celle que pourraient transmet-tre les roues où l’aube est choquée. Il y a lieu de présu-mer que l’avantage est au moins aussi considérable dansla pratique. On n’a point encore publié d’expériencessuffisamment exactes sur les roues de ce genre. Pourque l’eau entre dans la roue sans choquer les aubes,elles doivent être tracées comme il suit. BC(P 1 . 57, fig 1)représentant la vitesse effective \/2g7i de l’eau quandelle entre dans la roue en C, les composantes horizon-tale et verticale de cette vitesse sont AB, AC. Por-tant la vitesse V en BF, CF représentera le vitesse rela-tive avec laquelle l’eau commencera à couler lelongdel’aube. Cette ligne marque la direction de la courbe del’aube en C. La figure de la courbe entre le point C etJe point inférieur D où sa direction doit être horizon-tale , est indifférente.

On pourrait même se dispenser de mettre des aubesdans la roue. Il suffirait que le fond offrît des orifices,dont l’eau sortît suivant une direction horizontale , eten sens contraire du mouvement de rotation.

11. Considérant toujours la roue dans l’hypothèse dun° 4 > °n l’eau ne choque point les aubes, exami-nons ce qui aurait lieu si l’eau, en descendant dans laroue , s’approchait ou s’éloignait de l’axe de rotatiou.

La vitesse de l’eau, quand elle entre dans la roue ,est \/igh équivalente à la vitesse verticale cos 6\/2gAet à la vitesse horizontale sin0\/2 gh. L’eau commencedonc à couler le long de l’aube avec la vitesse relative

\Z[cos’0.2g/i -f- (sin0y/2g/t—V ) 2 ].

L’eau descendant dans la roue de la quantité H_ h , sa

vitesse relative, quand elle arrive à l’extrémité infé-rieure de l’aube, est due à la hauteur

TOME II.

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