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général et avec tous les développemens que réclameson extrême importance.

1. Rappelons-nous d’abord i° que la générationtechnique d’une quantité "diffère essentiellement de sagénération théorique, en ce que cette dernière donnela nature même de la quantité , tandis que la premièrene donne que sa mesure ou son évaluation ) 2° que lagénération technique d’une quantité consiste particu-lièrement, pour ce qui concerne les séries, en une trans-formation de la fonction , donnant la génération théo-rique de cette quantité, en fonctions de sommation ouen fonctions de la forme A+B.

2. Désignons par Fa; une fonction quelconque de lavariable x et, pour examiner les divers cas de l’éva-luation ou de la génération technique de la quantitéreprésentée par Fa;, prenons simplement la variable xelle-même pour la mesure à l’aide de laquelle il s’agitde transformer cette quantité en fonctions de somma-tion. Or nous avons vu (Math. , 17) que la forme néces-saire de la transformation en question est

Fx = A -f- »o;

A étant une quantité indépendante de la mesure, et *xune fonction de x, dépendante de cette mesure, ouplutôt mesurable par elle généralement ; ainsi, la me-sure étant ici x, <t>x doit, être telle qu’elle devienne*éro lorsque x = o, pour que le rapport

<i>x

x

ne devienne pas indéfini. Si nous désignons par unpoint placé sur x la valeur zéro de cette variable, nousaurons donc

A = Fx.

Mais puisque la fonction $x est comparable dans tousles cas avec la variable x, nous pouvons poser

<j>x „

— = F,x

X

-U9

et que la fonction F,* a, dans tous les cas, une valeurdéterminée, nous aurons pour troisième transformation

F,x “ C —J— Q*x,

dans laquelle

C = F,x.

Poursuivant de la même manière, nous obtiendrons,en réunissant les résultats

Fa: = A -J- <&x

4>X

F,x

= B —J— <t>,x

X

<t>,X __

F,x

= C + é>,x

X

X

F 3 x

= D -f- 4> 3 X

X

F4X

= E -}- <b^x

etc. =

etc.

— etc.

d’où

Fx = A -}- <j>x

<t>x = Bx -f- x.<t>,x

<ji.x = Cx -}- x.<t>,x

<t>,X = Dx -f- X.03X

<J>aX = Ex -f- X.QiX

etc. *= etc.

ce qui donne, en substituant chacune de ces quantitésdans celle qui la précède ( a),

Fx = A -f- Bx -f- Cx 1 -J- Dx 3 -J- Ex 4 etc...

et la fonction F.x ayant nécessairement une valeur dé-tei année, nous pouvons de nouveau la transformer en

F,x = B -J- <t>,x

B étant une quantité indépendante de x et 4>,x unefonction de x , généralement mesurable par x. Nousaurons évidemment dans le cas de x = o

Tel est le cas le plus simple de la transformation ensérie de la fonction Fx.

B. Avant dépassera la détermination générale desquantités A, B , C, D, etc., donnons quelques exemplesde cette génération technique des quantités, pour enmieux faire comprendre l’esprit et la généralité. Soitdonc

B

= F.i ;

Fx =

a

m-\-x

et, comme nous pouvons poser aussi

Nous aurons

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TOM* II.