B &=

SK

Fx—A

SE

•4oi

X

O

O*

F*=Fx+^ . ? + d *É. 51 + d J£*. -*L + etc.

dx i ' dx x 1.2 1 dx 3 1.2.3

Nous avons vu (Différence , 47) <î ue P our obtenir lavaleur des quantités qui deviennent ? , pour certaines

valeurs de la variable qu’elles contiennent, il fautdif-férentier leur numérateur et leur dénominateur ; ainsi,appliquant cette règle , nous obtiendrons

B —

dFx

dx

D’autre part

C = F x ,

ou , en substituant les relations précédentes,

<t>x—Bx

_ F,x-~-B

x x

x J

Fx—A— Bxx*

O

O

C =

ri’Fx1.2 dx x

formuleconnuesous lenomde Théorème de Maclaurïn,et qui n’est qu’un cas particulier de celui de Taylor.{Voy. Différence , 34 et 56.)

5. Examinons maintenant la déduction technique desséries, en prenant pour mesure une fonction arbitraire<fX de la variable x. D’après ce qui a été dit ci-dessuset Mathe' m., 17 , dans la transformation générale

Fx = A -f <fx ,

la fonction 4>X doit devenir zéro lorsqu’on donne à x lavaleur qui rend yx = q, afin que le rapport

<t>x

yX

ne devienne pas indéfini et soit toujours déterminable.Si nous désignons donc par un point placé sur x la va-leur de cette variable qui rend yx = o j nous auronsd’abord

différentiant deux fois de suite le numérateur et ledénominateur, il vient

faisons

A = Fx,

— ==F,xf x

°n trouvera de môme pour D

et décomposons F,x en

Fx—A—Bx—Cx’ o

ç t, en prenant les différentielles troisièmes

_ d l ¥xi.2.3 dx 5 ’

Procédant toujours de la même manière, on obtien-dra :

v _ (b V *

1

P _ <i 5 Fx

i. 2.3 .[\. 5 dâ?

cic.= etc.

et U est évident que le coefficient du m -J-1 “! me ter*me de la série sera

dm F i-

i"‘li JdaJn-

Substituant donc ces valeurs des coefficiens A, B, C ,D, etc., dans la série élémentaire (a) elle deviendra

F,x = B -f- $,x ,

<t>.x étant une fonction exactement mesurable par yx ,c’est-à-dire qui devient zéro lorsque yx == 0 ; nous au-rons donc aussi

B = F,x ,

et par conséquent

g _’t’x _Fx — A_0

yx yx o*

Prenant les différentielles premières, nous obtiendrons

r — .

d<fx

Désignant—- par Fx, et faisantyx

F,x = C -j- <P.x ,

dans laquelle 'l’.x doit être généralement mesurable paryx ou doit devenir zéro quand y.r = o, nous trouve-rons

C = F.i