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les différentiations. Eu vertu de ces expressions la série ^ _ a
générale (k) devient (u) j x ■ En effet de la relation
F* = F« 4 -^ (î=?
i ( fX
dFx jdx ) (*= n )
2 r/Fx"
on tire
tfX —
x—a
~W~'
f* =
x—a
tpx
•s 17 r f x —«v
r U'
1 . 2.3 1 —
x — a'Ÿ r^Fx j
dx 2
(*=<0
-f- etc.
On peut éviter la difficulté attachée à la détermina-tion de la quantité a qui rend ya — o, en prenant pour<f>x la fonction ( fx — fa) dans laquelle f désigne unefonction quelconque, et a une quantité arbitraire ; alorsla série («) sera
Fx = Fa
1 fx—f«
X-
-a dFx )
+ I •
fx-
fa ‘
dx )
■*=«)
(/x—/fl)*
I ,
F( x-
—a \
cZFx-i
\f x
-rJ
dx \
* 1.2
1
dx
~ f x-
—a \
3 rfFx'l
, CA-/«) 3
M
V*
-fa)
dx
-J- etc., etc.
et substituant dans (u) on obtient immédiatement
+ il /a '2sy
etc.
formule identique avec celle trouvée par Lagrange,pour obtenir le développement d’une fonction quel-conque d’une variable a; donnée par l’équation
x = a+yfx,
car en désignant, comme lui, les dérivées différen-tielles par les accens ', ", etc., et remplaçant de plustfx par y, l’expression précédente devient
En examinant ces formules de développement, onvoit comme nous l’avons annoncé , que le coefficientgénéral
a\V- dFx
iHÊgrui
I dx (<•-« J
ne présente qu’une génération relative de la quantitéqu’il représente, car cette génération dépend des dif-
féientielles de la fonction auxiliaire ——-, différentiel-
<px
les dont la loi n est pas connue. Quoi qu’il en soit, laformule deBurman est supérieure à celles trouvées pard autres géomètres , et on peut la considérer commeune transition entre les expressions initiales de Paoliet les expressions finales de M. Wronski.
26. La belle formule de Lagrange, employée princi-palement pour le retour des suites, n’est qu’un cas par-ticulier de celle de Burman , celui où la fonction <px est
Fx = Frt + y {fa.F'a) 4 - (f a *. F'a)'
+ 7-^3 (/« 3 - F '«)''+^
c’est-à-dire l’expression dont Lagrange a donné une dé-duction dans sa Théorie des fonctions, et qu’il a ap-pliquée au retour des suites dans la note XI, de saRésolution des équations numériques.
27. Dans les formules de développement de Krampet d’Arbogast, les coefficiens sont donnés en fonctionsdes coefficiens des puissances d’un polynôme auxi-’liaire formé avec les différentielles de la fonctionFx, qu’il s’agit de développer, et celles de la fonction<fX prise pour mesure. Nous ne pouvons reproduireici ces formules, dont la déduction nous entraîneraittrop loin et qui ne représentent d’ailleurs que des pro-cédés indirects. La prodigieuse extension que M.Wronski a donnée à la théorie des séries, le haut degré