de perfection de ses formules, la généralité absolue deses résultats et la clarté inattendue qu’il a jetée sur lamétaphysique obscure de cette branche si importantede l’algorithmie, ne permettent plus aujourd’hui deciter les résultats des calculs de dérivations autrementque pour l’histoire de la science.

Toutes les lois précédentes s’étendent avec facilitéaux cas de plusieurs variables dépendantes ou indé-pendantes, mais nous ne pourrions entrer dans ces dé-tails sans dépasser les limites très-étroites qui nous sontimposées; nous devons donc renvoyer aux traités decalcul différentiel, pour ce qui concerne le théorèmede Taylor, et à la Philosophie de la lechnie de M.Wrouski, pour les lois universelles dues à ce savant.Nous traiterons ailleurs de la sommation des séries.{Voy. Sommation.)

28. L’emploi des séries ne remonte pas plus hautque le X\TI e siècle , et Mercator paraît être le premierqui s’en soit servi pour obtenir la génération d’unequantité cherchée; mais Newton et Leibnitz doiventêtre considérés comme les fondateurs de cet algorithme :Newton , par la decouverte de son célèbre binôme ,Leibnitz , par ses travaux sur un grand nombre de sé-ries numériques dont il enseigna à trouver la sommeet dont il signala l’importance. Cependant on ne doitpas oublier qu’un des moyens employés par Archimède pour quarrer la parabole consiste dans la sommationd’une progression géométrique décroissante continuéeà l'infini.

Les essais de Leibnitz , publiés en 1682 et i683, en-gagèrent les géomètres à s’occuper des séries; les deuxillustres frères Jean et Jacques Bernouilli s’excitèrentbientôt au même genre de recherches en se faisant partde leurs découvertes mutuelles, et lorsque Taylor eutproduit son théorème, ces grands géomètres et ensuiteEuler s’élevèrent à des questions qu’on avait crues jus-qu’alors inabordables.

C’est au théorème de Taylor, dit M. Wronski, dansson Prodrome du messianisme , que commencent pro-prement les mathématiques modernes, dont Euler ,muni de ce puissant instrumenta fixé pour ainsi dire,à lui seul, toute la sphère. — « Aussi loin que pouvaits’étendre l’application du théorème de Taylor, direc-tement ou indirectement , aussi loin Euler a dévoiléla vérité. — On ne sait trop ce que l’on devrait désirerle plus, qu’Euler eût employé son génie à accomplirsi parfaitement l’édifice d’un autre, ou qu’il l’eût em-ployé à poser les fondemens à un édifice plus vasteencore. Toujours est il certain que, commençant à sen-tir 1 insuffisance du théorème de Taylor, ce grandgéomètre préluda à un nouveau mode de générationunivérselle, dont nous parlerons dans l’instant (lesfractions continues).

t Cette insuffisance se faisait surtout sentir dans larésolution des équations infinies ou dans ce que les géo-mètres nommaient retour des suites. — Pour y suppléer,Lagrange, éclairé par ces travaux de l’Europe savante,fit la découverte de son fameux théorème, qui, à cetégard complète le système de Taylor, et qui , à d’autreségards, est déjà supérieur au théorème de ce dernier,lequel ne se trouve plus être qu’un cas particulier duthéorème de Lagrange.

» Ce fut ainsi que se développa insens blement cemajestueux système de savoir qui , sans contredit, estun des plus beaux titres de l’humanité, comme il estun de ses plus puissans instrumens. — Mais ce qu’il y aici d’admirable, c’est que faisant abstraction de Newtonet de Leibnitz , fondateurs de ce système, on trouveque les derniers résultats se concentrent dans troispoints principaux : i° le théorème de Taylor, commeprincipe de la génération des quantités , lorsqu’ellessont données immédiatement ou par leurs fonctions;2° le théorème de Lagrange, comme principe de lagénération des quantités,lorsqu’elles sont données mé-diatement ou par leurs équations; et enfin 3° la réali-sation de ce système par Euler , et la transition opéréeainsi de l’un à l’autre de ces deux théorèmes, par unlien téléologique.

» C’est là effectivement à quoi se réduit cet immenserecueil de savoir^ mathématique qui est la propriétéprésente de l'humanité. — Quiconque méconnaîtraitcette réduction précise et générale, ne saurait se flatter,ce nous semble, d’avoir approfondi la science dont nousparlons. En effet tout s’y concentre ainsi, d’une ma-nière explicite, ou du moins d’une manière implicite :il n’existe aucune proposition mathématique connuequ’on 11e puisse ramener à l’un des trois points quenous venons de signaler.

» Mais pour mieux apprécier cet état présent desmathématiques il faut, en remontant ainsi aux principes,découvrir le principe unique qui doit nécessairementservir de base à ce système. Nous pouvons nous bornerici à indiquer ce principe; et pour cela nous observe-rons que l’ensemble des mathématiques modernes , de-puis Leibnitz et Newton , consiste dans la générationuniverselle des quantités par le seul algorithme de lasommation indéfinie, qui constitue les séries.

« Tout ce que donne le calcul différentiel, ce grand» instrument de la période moderne des malhémati-» ques, ne sert en effet que pour arriver à cette uui-» verselle génération algorithmique par sommation in-» définie : car le très-petit nombre d’intégrations théo-» riques qu’on a pu obtenir mérite à peine d’être» mentionné; et l’unique moyen des géomètres mo-» dernes, pour arriver dans tous les cas à la connais-» sauce des quantités , consiste notoirement dans l’em-