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sciences mathématiques. Son seul maître fut Euclide ,dont un exemplaire des Élémens tomba par hasardentre ses mains; son génie fit le reste. Devenu profes-seur de mathématiques au collège de Christ’s-IIôpital,il occupa pendant cinquante ans ces utiles et honorablesfonctions, et ses ouvrages ont justifié la renomméequ’il ne cessa pas d’y mériter. Il mourut le i cr octo-bre 1761. I<a plupart de ses ouvrages, ou ne portentpas son nom , ou ont été imprimés après sa mort parles soins du comte de Stanhope , son disciple et sonami. Les écrits qu’on attribue généralement à Simsonsont ; I. Deux propositions générales de Pappus, mé-moire inséré dans le volume XXXII Des transactionsphilosophiques, 1723. II. Sur l’extraction des racinesapproximatives des nombres par séries infinies, volumeLXXIII delà même collection, iy53. III. Des sectionsconiques, Londres, 1735, in-4°. IV. Loci plani d’Apol-lonius , rétablis, 1749» in-4°- Elémens d’Euclide , tra-duits en anglais , 1756, in-4°. Le comte Stanhope fitimprimer après la mort de Simson un grand nombred’écrits scientifiques de ce géomètre , parmi lesquelson distingue : Sections déterminées d’Apollonius ; —Traité sur les prismes ; — Traité sur les logarithmes ;— Sur les limites des quantités et rapports ou propor-lions 1 — et enfin Problèmes géométriques.

SINUS. ( Alg. et Géom .) On nomme, en trigono-métrie, sinus d’un arc, ou sinus de l’angle dont cet arcest la mesure, la perpendiculaire abaissée d’une desextrémités de l’arc sur le diamètre qui passe par l’autreextrémité. En algèbre , les sinus , comme les logarith-mes, forment un algorithme théorique élémentaire.{Voy. Philosophie, 62.)

Jusqu’au commencement du xvm' siècle les sinus,ainsi que les autres quantités qui en dépendent, mal-gré leur extrême importance dans les calculs astrono-miques, n’avaient été considérés que d’une manièrepurement géométrique. C’est à Frédéric - ChristianMayer, i’un des premiers membres de l’Académie deSt-Pétersbourg, que l’on doit les théorèmes fonda-mentaux de la théorie algébrique des sinus, théoriequi est devenue entre les mains d’Euler une des par-ties les plus importantes de la science des nombres.Nous allons commencer par quelques notions géomé-triques sur la nature des sinus, puis nous exposeronsleur théorie dans toute sa généralité , en la fondant surdes considérations purement algébriques et sans rienemprunter à la géométrie.

1. Soit DB (PI. 57, fig. fi) un arc quelconque decercle ; si de son extrémité D on abaisse sur le diamètreAB, qui passe par son autre extrémité B, la perpen-diculaire DE, cette perpendiculaire sera le sinus de

1 arc DB, ou encore le sinus de l’angle DCB dont l’arcDB est la mesure.

Il est facile de voir, d’après cette construction , quele sinus est d autant plus grand que l’arc se rapprocheplus du quart de la circonférence, car en faisant croîtreDB jusqu’à ce qu’il devienne FB , la perpendiculaireDE croît également jusqu’à ce qu’elle devienne FC,c’est à dire , le rayon du cercle ; le quart de la circon-férence ou l’angle droit dont il est la mesure a dgncpour sinus le rayon : on nomme celui-ci sinus total.

Lorsque l’arc est plus grand que le quait de la cir-conférence, son sinus devient plus petit que le rayon,l’arc GB , par exemple , ou l’angle GCB a GII poursinus.

Si l’on observe que GII est en même temps le sinusde l’arc GA supplément de GB , on en conclura que lesinus d'un arc ou d’un angle est égal au sinus du sup-plément de cet arc ou de cet angle. En désignant doncpar sin A le sinus d’un arc A, et en supposant la circon-férence divisée en 3Go degrés, on a l’identité

sin H— sin(i8o° — A).

a. Depuis 0 degré jusqu’à 90°, les sinus croissent doncdepuis o jusqu’au rayon du cercle et depuis 90° jusqu’à180 0 , ils décroissent depuis le rayon jusqu’à o. Eu dési-gnant par R le rayon du cercle, on exprime ces circon-stances par les égalités

sin o = 0, sin 90° = 11, sin 180° = o.

Tous les angles dont on se sert dans la trigonométrie ,et par conséquent tous les arcs qui leur servent de me-sure ne dépassant jamais 180 0 , si l’usage des sinus sebornait à cette branche de la géométrie, on n’aurait pasbesoin de considérer les sinus des arcs plus grands quela demi-circonférence ; mais dans les nombreuses appli-cations algébriques de la théorie de ces quantités etmême dans les applications géométriques on emploietrès-fréquemment des arcs non seulement plus grandsque la demi-circonférence, mais encore qui compren-nent plusieurs circonférences ; nous devons donc, sanssortir de la géométrie , examiner l’expression des sinusde tels arcs.

Remarquons que pour un arc BFAP plus grand quela demi-circonférence AFB la perpendiculaire abaisséede l’une des extrémités P sur le diamètre AB qui passepar l’autre extrémité A est la droite PO, située par rap-port à ce diamètre en sens inverse de tous les sinus desarcs compris entre o” et 180 0 ; ainsi, pour tenir comptede cette situation inverse, il faut donner le signe —, ouconsidérer comme négatifs les sinus des arcs depuis 180"jusqu’à 36o°, puisque ces sinus seront tous dans une po-sition opposée à ceux des arcs depuis o° jusqu’à 180 0 .Quant à la grandeur absolue de ces mêmes sinus, il est