SI

470 SI

est représentée par la lettre e. Nous aurons de cettemanière :

yx = cos x + sinx V — 1

et puisque, par la nature de la fonction f , l’égalité (i ),qui est notre point de départ, se trouve complètementsatisfaite, cette égalité , ou plutôt celle-ci (o)

(cosx -)- sinx y/— i ), (cosz + sin z y/— i ) = cosx . cosz-f- cosx.sinz. y/—i-J_ cosz. sinxy/— i — sinx.sinzNous avons donc aussi

co'fx z) -f- sin(x -j- z). y/ 1 —i =cosx.cosz—sinx.sinz-f- (cosx.sinz-}-cosz.sinx).y/—i

(cosx, -f- sinx,.y/—1) .(cosx a -J-sinx a .y/—i).

(cosx3-f- sinx 3 . \/ —i).etc.=

cos(x,-f x a +x 3 +etc.) -J--f- sin(a:i+a;,-f- r3 + etc.) • V — 1

est la loi fondamentale de la théorie des sinus. C’estd’elle en effet que nous allons déduire toute cettethéorie.

16. Remarquons d’abord que si, dans les expres-sions théoriques primitives ,

Égal nt sépa ément les parties réelles et les partiesimaginaires de cette dernière égalité , nous obtien-drons ( p )

sin(x-|-z) = sinx . cosz + cosx . sinzcosjx-j-z) = cosx . cosz — sinx . sinz

principes dérivés considérés comme les théorèmes fon-damentaux de la théorie des sinus , et que nous avonsdéduits ci-dessus, n. 7, de considérations géométriques.

Si dans ces deux égalités on fait z négatif, elles de-viennent (q ),

1 ( xv/—1 —x\/—1

sm x — -=. |e —e

i \/—1

cosx =

on fait x négatif, on aura

sin(_x) = —4=| e “ X V->_ e +*V/-i

2 y/—1

—_| e + X V~

ay/—I (

— sinx

1 ( — xy/—1 + xy/— 1

cos(—x) = - . j e v -\-e

sin(x—z) = sinx . cosz — co*x . sinzcos(x—z) = cosx. cosz -j- sinx . sinz

17. Les théorèmes ( p ) et (q) admettent plusieurs com-binaisons qui fournissent un grand nombre de consé-quences utiles pour les calculs où il entre des sinus.Nous nous contenterons de rapporter ici les plus remar-quables.

En prenant d’une part la somme et de l’autre la dif-férence de chacune des égalités (q) avec chacune deségalités (p ), on obtient

sinx.cosz = ■- sin(x+z)-{- ^ sin(x—z)

2 '-I

sinz.cosx = ^ sin(x-{-z)— I sin(x—z)

= 1 .

= cosx.

Ainsi le sinus d’une quantité négative est négatif ,tandis que son cosinus ne change pas de signe.

Ceci posé , dans la foi fondamentale (0), ne considé-rons que deux facteurs et faisons x> = x, x» = z,nous aurons

(cosx -j- sinxy/—1). (cosz -f- sinzy/—1) =

cos(x -f- z) -f- sin(x-)-z)y/—1

cosx.cosz = ^ cos(x—z) -J- I cos(x-f-z)

sinx.sinz = - cos(x—z)— - cos(x-}-z)

formules au moyen desquelles on peut transformer unproduit en une somme et vice versa.

Lorsqu’on veut faire usage de ces expressions pourtransformer une somme en produit , il faut leur donnerune forme plus simple , ce que l’on effectue rn faisantX-f-z = p, X—z = q , d’où

* = 2±2, «»£=2.

Or, en effectuant la multiplication, le premier mem-bre de cette équation donne

Substituant ces valeurs, on obtiendra :