si
siap — sin 9 = 2 sia - (jp— 9)*cos- {p+q)
*x
COS p + cos q — 2 COS^(p+7).COsi(p— q)
COS p — COS q = 2 COS^ (p-j-î)' s > n " (p^q)
expressions d’un grand usage dans les calculs trigono-métriques et dont on peut tirer, en les combinant, unefoule de théorèmes.
18. Au moyen des principes précédens et de leursconséquences les plus immédiates , on peut construirepour les sinus des tables semblables à celles des loga-rithmes, avec cette différence que les valeurs des sinusseront comprises entre certaines limites, puisque cesvaleurs ont une génération périodique. Jusqu’à présent,les sinus n’ayant été considérés que comme des lignesgéométriques, les tables dont on se sert ont été calcu-lées pour les arcs du cercle, et au lieu de présenter lessinus des nombres , elles présentent les sinus des partiesde la circonférence exprimées en degrés 5 mais on peutfacilement exprimer tout nombre donné en degrés etréciproquement. En effet , la circonférence du cercledont le rayon = 1 , étant supposée divisée en 36 o de-grés , ce nombre 36 o, qui est purement conventionnel,remplace it dans le calcul des sinus et donne le moyende réduire,en degrés un nombre quelconque; de plus, àcause de la périodicité des valeurs de sin x et de cosx,nous avons (2 et 12).
sin {mit -j- x) = sin xcos {mit + x) = cos x
m étant un nombre entier quelconque, y compris o;ainsi comme mit x peut représenter tous les nom-bres entiers et fractionnaires, en supposant x<Cit, pourtrouver le sinus d’un nombre donné À, il suffira dechercher celui du reste delà division de A par tt; c’est-à-dire que les sinus de tous les nombres sont donnés parceux des nombres au-dessous de it. Nous verrons mômeplus loin qu’il suffit de considérer les sinus et les cosinus
des nombres compris entre o et
Ceci posé, x exprimant un nombre plus petit que 7r,exprime conséquemment une partie de la circonférence,et pour réduire cette partie en dégrés, il ne s’agitque de connaître son rapport avec it , car 7r, ou la cir-conférence, étant supposé partagé en 36 o parties , au-tant x contiendra de ces parties, autant il vaudra de
dêKi'és. Soit donc — = n, on aura aussiu x
SI
36 o°
O] = ——
m
[x] désignant x exprimé en degrés du cercle. Ainsi
ri -r „ n 36 o°
[ x 1 = 36 o° : — =- .x
’ x It
et l’on voit que l’opération se réduit à multiplier x parle facteur constant
36o
= 58°, 8873 ..,
qui est l 'arc égal au rayon ou à l’unité.O11 a réciproquement -
c’est-à-dire que lorsqu’une quantité est exprimée en de-grés, pour avoir sa valeur en nombres naturels, il fautla multiplier par le facteur constant
36Ô ~ o,oi7453..
19. Il est maintenant facile de s’assurer que le sinusd’une quantité quelconque peut toujours s’exprimerpar le sinus ou le cosinus d’un nombre moindre que
- it, en les prenant avec un signe convenable; car it
4
désignant ici la circonférence entière on a, d après lesnuméros 2 et 3 ,
sin o = o , cos o = 1
Sin - it =
4
cos - t = o
4
. i s
£111 - It — O , COS ~ it — — I2 2
. 3 3
tin 7 it = —1 , cos - 7r = o
4 4
sin 7 r = o , cos it = 1
mais z désignant une quantité plus petite que - it , et x
une quantité plus petite que it , toutes les yaleurs djaisont comprises sous les formes
it it , it , 3it
~+ Z > -jT + Z
et en vertu des expressions ( p ) et (<7)
• fit \ . 7T -
sinl - —■ s J = sin - .cosz — cos , .sinz
M / 4 4