klk SI

SI

ai. Les expressions théoriques primitives ( l) dessinus et cosinus elliptiques deviennent indépendantesde la base a , lorsque cette base est la même que celledes logarithmes naturels, c’est-à-dire, lorsque le sys-tème correspondant des sinus est celui des sinus natu-rels ou circulaires. En effet, puisque d’après le numéro12 on a

irt/—i

a v =1

et qu’en faisant a — e , L a = i , ce qui fait disparaî-tre a de la génération des fonctions sinus et cosinus , ilvient aussi

La caractéristique L désignant le logarithme naturelde a. {Foy. Logarithme , i5) Or, en appliquant ce dé-

x x

veloppement aux exponentielles i 17 , i ^ on trouve

x

'+¥< î > ( -S( ï J+ ( S-©’+-

ce qui donne, en substituant dans (s ),

i i m

y~ i = i = i*

m étant un nombre entier arbitraire, positif, négatif ouzéro. Substituant cette valeur dans les expressions (/) ,elles deviennent (r),

i

S 1 U X = ---

2\/—I

mx\ * ■

mx

v

cos X =

1

2

mx

i n -j- i

mx7r

i ( Lisinx=—— 1 —\/—il >

, ,(L.) 3 (L.) 5

i.a. 3 'W 1.2. 3 , 4 . 5 'Vif y

-f- etc

cosx=i

(Li)«

I.2. 3.4 '

Or, comme ces expressions dépendent non des raci-nes réelles, mais bien des racines imaginaires de l’unité,dont le logarithme imaginaire est généralement (voy-Logarithmes 17)

Il est facile de reconnaître, sous cette forme, queles fonctions des sinus et cosinus, considérées dans touteleur généralité, admettent une infinité de valeurs diffé-rentes pour chaque valeur de la variable x , correspon-dantes à l’infinité des valeurs différentes qu’on peutdonner au nombre arbitraire m. Ce n’est que lorsquem = 1 que les sinus sont ceux qu’on trouve dans lagéométrie. Pour ce cas simple et particulier on a (s) :

x 71

sin x =:-{ 1 *_ , ~ x \

2V/-l| 5

X X

cos x = ^ J 1 77 i 77 1

Li = mn\/ — 1

faisant doncLi = tt^/ — 1, pour ne considérer, commeci-dessus , que les valeurs qui répondent à m s=s I,nous obtiendrons définitivement

^3

1 x = x - : —- -5-7--= — etc.

1 . 2.3 i.2. 3 . 4.5

X * , X 4

cos x = 1 —-- 4 - T —

1.2 1 1.2. 3 .4

— etc.

23 . Reprenons le principe fondamental ( o) de lathéorie des sinus, et faisons x = x, = x. = X3 = x*= etc. ; en désignant par m le nombre des facteurs dupremier nombre, nous obtiendrons ( l )

22. Il ne sera peut-être pas inutile de montrer com-ment on peut tirer des expressions théoriques (s) lesgénérations techniques des sinus et cosinus. Pour ceteffet, remarquons que , quelles que soient les quantitésa et z , on a généralement, pour le développement de

la fonction exponentielle a ,

(cos x -f- sin x. \/ —i)"‘=cos wx-j-sin mx. V — 1

et, dans les cas de sin x négatif, (/<)

(cos x — sin x. y— i) m =cosmx — s\nmx.V ^~ 1

D’où, prenant la somme et la différence des égalités(t) et (u) ,

a Z = t -f .

1 '

(La)’,î‘

I .2

(Ln) 3 .g 3

1 . 2.3

+ etc.

cosm.r

| (cosx+sinx .y~i )"'-)-(cosa:-3:u.ajV / — 1 V" (