SI

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sinj»r = — -

*v-

SI

(cosx-j-sin^Y/—i) m — cos i z —\^ -f- ~ cos S J

— (cosx—sinæ.y/—i) m | égalités qui conduisent aux suivantes (z)

Si l’on développe les binômes par la formule de Newton, il viendra , toute réduction faite (v)

sin mx = m(cosaj) m — 1 . sinx

sin \ z = ^V^+sinz]— ^\/[i — sinz]cos î s = ^V / [ t +s> D 2;]+ ^ X/t 1 —sinz]

—-— ^--(cosx)™—3. (sinx ) 3

m(m —i ){m — i){m —3)fm—41

i.i.3.4.5

(cos-r)" 1 - 5 .(sinx ) 5

— etc.

. . m(m —i; . , , . .

cos mx — (cosx) m -— (cos^)"‘- 2 .(sinÆ)’

_j_ ——(cosxJ m— 4.(sina ;) 4

— etc.

26 . Les formules précédentes fournissent les moyensd’exprimer sous une forme finie les sinus des multiplesde 3°, les seuls qu’on puisse assigner ainsi. Nous al-lons donner ces expressions qui sont particulièrementutiles dans la théorie des polygones et dans les problè-mes mécaniques.

En faisant d’abord z = go”, on a cos go* = 0 , etsubstituant dans (x) on trouve

cos 45° = sin

V 2

formules qui donnent le sinus et le cosinus de l’arcmultiple en fonctions du sinus et du cosinus de l’arcsimple.

24 . En faisant dans ces formules m = 1 on obtient

sin 2X = 2 cos x.sinxcos 2 x = (cos x) 1 — (sin x)*

On sait que le côté de l’hexagone inscrit ou que lacorde de 6 o° est égale au rayon du cercle; or la cordede 60 * est le double du sinus de 3o°; ainsi sin 3o°

= i, et par conséquent cos 60 ”= Cette valeur du

cosinus de 60 ° nous va faire connaître celle du cosinusde 3o° qui est la même chose que le sinus de 6 o°. Nousavons en effet

et, si l’on pose 2 X = z, d’où x = jz, ces dernièresdeviennent

cos

3 °"=\/[;+î-

>1_V3

•IJ-- 2 -’

1 ï

smz = 2 .cos -z.sin

2 2

et, conséquemment, sin 6 o°

: V/3

cos z = (cos ^ z ) 1 — (sin ^z)*

Ces,, expressions trouvent de nombreuses applications.

25. Si l’on remarque que l’on a, d’après la naturemême des sinus ( 12 )

Ces valeurs peuvent nous donner immédiatementcelles des sinus de i5° et de y5* en employant les théo-rèmes fondamentaux (y), car en vertu de ces théorèmeson a

sin i5°=sin(45°—3o°)=sin45°.cos 3o° -cos 45°. sin 3o»

(cos - z)* -|- (sin - z)* = i2 2

et que 1 on compare cette égalité avec celle que nousvenons de déduire

1 y/3_ 1 1

y/a ° 2 y/i ’ 3

2\/2

(t/3-i)

cos 1 5° = cos 45*—3o)=cos 45°. cos 3o°-J-sin 45° • sin 3o 0

cosz = (cos y z)* — ( sin - z)>2 v 2 '

on en tirera (x)

sin

JL V2 + J_

y'a ’ a ' \/'i

1 1

2 3\/2

(V/3+>)

Le sinus de 18 * est la moitié de la corde de 36* quiest le côté du décagone inscrit. Lorsque le rayon = 1 ,ce côté est (voy . Décagone)