SI
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tion quelconque en série, procédant suivant les puis-sances progressives d’une autre fonction arbitraire desmêmes variables (voj. Sérié). Or, en faisant dans la loifondamentale (A) des séries F.r = z et yx = sinz, etconstruisant les différentielles qui entrent dans cette loi,on obtient pour les coefficiens A., A,, A a , etc., les va-leurs
A, = o, A, = i, A i = o, A3 = —5, A4 =0,
» , - 3 i * i. 3.5 .
Â! “a. 4 .5’ ~ 0> A '““Ï476.^' As “ °*
1.3.5.7 .
A » = rTG^ A ' , = 0 ’ etC ‘
dont la loi est évidente, et l’on a ainsi (/)
z = sinz + ~ (sinz) 3 + (sin z) 5 + etc.
expression que nous avons déduite ailleurs par un autreprocédé. (Voy. Retour des suites.)
Ceci posé , si dans la formule du n°20 on fait x—nz,il viendra
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indéfini de termes dans tous les autres cas. Cependantlorsque n est entier et pair, on peut la transformer enune autre série dont le nombre des termes se réduit à
— mais qui est multipliée par cosz ou \/[i—sin’z]. En
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effet, désignons par S le second nombre de cette série,nous aurons l’identité
„ cosz S.V/fi—sin’zl
sinnz = S. — = —V-r—4
cosz \/[i—sin’zj
et ea divisant S par le développement de Y/[i—sin’z],nous obtiendrons (z')
. „ • -, ( • «(«’— 4 ) • *
sinnz=\/[i—sin’z]. | rcsinz-sin 3 z
n(w —4 )( n * —>G) . .
-f —--frç sm z
1.2. 3 .4 .5
n(n*-Q(n 7 —-i6) (n‘— 36 ) .
1.2. 3 .4. 5 .6.7
-j- etc.
sin nz = nz ■
i.2.3 ' 1.2. 3 . 4-5
W.zi
1.2. 3 . 4 - 5 .6.7
etc.
et si dans cette dernière on substitue les valeurs de z,z% z 3 , etc., tirées de [y), on obtiendra, après toutes lesréductions, (z)
sinz = n sinz---^(sinzj 5
1.2.3
. »(« , -_iXü! = 9) (shls) 5
1. 2 . 34*5
série qui se compose d’un nombre fini de termes, lors-que n est pair.
La série (*) se termine toujours quand n est entier etpair, et dans tous les autres cas elle est indéfinie. Maisen opérant sur elle comme nous venons de le faire pourla série (z), 011 la transforme en (a')
r . 1 «’ — 1 .
cosnz = V / L I —sin’z]. j 1 --sin’z
( n ’—i)(n’—9) .
- 4 - -- . — sin 4 z
1.2.3.4
_ («*—OC» 1 — 9 )("»— =» 5) sin 6 _1.2.34.5.6.7.8
+ etc.}
n(n»—i)(n’—g)(«’— 25 ). .
---V-HrW-(sinz)7-J-etc.
1.2.34.5.6.7
Opérant de la même manière pour le cosinus de nz, ontrouvera (a)
cos nz =
~ 1 ~ (sinz )’+ 7 nr 3 :f (sinz)4
dont le nombre des termes est fini lorsque n est entieret impair.
28. Si l’on veut avoir des séries qui procèdent parles puissances de cosz, il faut substituer dans les précé-dentes 90°—z à la place de z, et l’on obtient, mais seu-lement dans le cas où n est un nombre entier, savoir :
Pour n, nombre impair
.«V- 4 X 22 -16).. , 6
• ■ïXixr ( sinz )
^ 1. 2 . 3 . 4 . 576 ~ 7.8 ( sinz ) ctc-
La série (z) a visiblement un nombre fini de termes,lorsque n est un nombre entier impair, et un nombre
sinnz=±\/[i ■—cos’.z], j 1 ■—■ g cos*.z
. (n 7 — i)(«’—g) ,
4- 3 -cos 4 .z
' 1.2.34
_ (« a —!)(«»—g)(/ t«—a 5 )
1.2.34.5.6
cos 6 . z
+ etc.