478 SI
, l n(n’— i
= n.cosz- —-3
cosnz
n[n' —1) „
—-- cos’.z
. 9) _ 5 ,
+ 1.2.34.5 C ° S ,Z
_^-^-5]Ç-a5) cos7>z
1.2.34.5.0.7
4* etc.
}
Le signe 4- a lieu lorsque n est de la forme 4 /7I 4 —1 »et le signe —, lorsqu’il est de la forme I^m —1 ; m étantun nombre entier positif quelconque y compris zéro.Pour n, nombre pair
smnz
=rb\/[i—cos’z]. | n.cosz— a ~^' cos 3 .s
n{n 1 —4 )( n ' —16) 5
--- O , - l : —' cos 5 . z
1.2. 3 . 4-5
n(n‘— 4 )(n’—16)(«’— 36 )
+ -—fTTï-- cos’.z
1.2. 3 .4. 5 .6.7
etc.
I
Le signe -f- a lieu lorsque n est de la formeet le signe —, lorsqu’il est de la forme l^m.
, ( n’ . rfiri 1 — 4 ) a
cosnz-± 1-cos , .z4-*—5—f cos 4 .z
» 1.2 1 i.a. 3.4
SI
et conséquemment,
2»+i. cos n . x =a (p-\-q) n 4* («y-J-p)"développant les binômes, nous obtiendrons
2»+‘. cos n .X = p n -\-q n 4* n pq (p n —* 4r<7' , -0
4- p-p y q'{p n ~ ! i-\-q n -A)
+—1 pV ( p -°+ r -°>
4* etc.
or, pq = p'q* = p^q 3 — etc. = 1, et l’on a en généi# Ipp-\-qp = cospx-\-s,mpx \/—1 4" cospx— ùupx\/~' t
=3 2C0S [IX
donc
2 n cos'V» = cosnx 4- ” cos (n—2)x 4*-~—— cos(n—4;<r. nln—i)(n—i)
+ ^3 -- cos(n—6)x 4- etc.
En partant de l’expression théorique primitive du si-nus, on trouverait, par une marche semblable , lorsquen est un nombre pair,
2" sin".# = ±1 {cosnx —”cos(n—2)x
«•(n 1 —4 )( n ’—16)1.2.3.4-5.6
-f- etc.
.cos 6 , z
n(n— 1)
1.2
n{n— i)(n—2)
I .2.3
COs(n —tyx
cos(«—6)x
4- etc.
le signe 4- a lieu lorsque n—^m, et le signe —, quand
n=4 w —2.
2g. Les formules qui expriment les puissances des si-nus et cosinus d’un arc simple en fonctions des sinus etcosinus des arcs multiples ne sont pas moins importan-tes que les précédentes. Comme elles trouvent de nom-breuses applications dans le calcul intégral, nous allonsdonner leur déduction. Nous savons que
et lorsque n est un nombre impair,
2'»-i. sin n x=rh {sinnx sin(«— i)x
4- -y-^— sm(«—4)3
n(n —i)(n —2)1.2.3
sin(n—6)# 4- etc. j
cosx
-il
x V~ l +e -n/-«
xW —I — xv/ —I
posons e v ~Pi e v — 1/1 et nous aurons
d’une part p.q— 1, et de l’autre cosx= ^ (p4"7) > ou2.cosx=(p4-9) > ainsi
a n .cos».x = (p+q) n = Çq+pY
Le signe 4- a lieu lorsque n est un multiple de 4 dansla première formule, et lorsque n—i est un multiple de4 dans la seconde formule.
3o. Examinons maintenant les fonctions qui résultentdu rapport des sinus et cosinus comparés soit entre eux,soit avec le rayon ou l’unité. Nous avons vu (Sécant*et Tangente) qu’on a généralement (|9)
sinx . , cosx
-= tangente x, — = cotangente x
cosx 0 sinx 0