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—— = sécantex, —— = cosécante:*eusse sinx
Il nous reste donc seulement à déduire des propriétésdes sinus celle des tangentes et des sécantes.
Dans les cas généraux où x est o, ou
4’
ÎT
2
est facile de voir qu’on a , ir désignant toujours la cir-conférence du cercle dont le rayon est l’unité ,
sino
tang. o =-
coso
o
i
Il résulte de ces expressions que les tangentes et lescotangentes des arcs depuis o jusqu’à t: peuvent repré-senter tous les nombres positifs et négatifs, depuis ojusqu’à l’infini, propriété très-imporiante et qui reçoitde nombreuses applications. Quant aux sécantes et auxcosécantes, elles peuvent également représenter tous lesnombres positifs et négatifs , mais seulement depuisYunicé jusqu’à l’infini.
3i. Ces fonctions ont, comme les sinus, la propriétéde pouvoir toujours être représentées par celles d’entreelles qui se rapportent au premier quart du cercle , enles prenant avec un signe convenable , car en partantdes expressions primitives (|3), il est facile de voirqu'on a d’abord en général , x étant plus petit que 7r ,
sin 7
TT A I
tang. -t ±= —— = - = co
° 4 x o
cos
4
tang (/?i7r-j-x) = tang X , séc (mi r + *) = séc x,
cot (mit -f- x) — cot x, coséc(«î7r-|-x)= coséc X,
. X
sin-
7T 2 O
a tt 1 0
cos-
2
et, ensuite, x étant plus petit que -,tang^ ^ -f- x ^ =s — cotx, séc^ + x — cosécx,tang( ? + x )=+tangr, séc (^+ x )= + séc x ,tang^-^- == — cot x , séc^^ -j-x^== — cosécx,
cotQ|- -f- oe'j — — tanga, - , coséc (jr -j-x^= — séc x ,tangentes croissent de o h l’infini, de | à ^ elles dé- C ot^~ + x^ — + cot x, coséc Q- -|-x^= + cosécx,
cot(| -j-x^ = —tanga:, coséc ^ y -f-x^= — séc x.
. 37C
3 7t sm T »tang. T =- y7r =
COS—r-
4
simr o
tang. 7 t COS7t . j 0
Ainsi, pourles valeurs des arcs depuis o jusqu’à ^ , les
croissent de l’infini à zéro ; passé ^ elles deviennent
3tt
Négatives et de - à elles croissent de o à l’infini ;
2 4
3 r
enfin de ~ à jt elles décroissent de nouveau depuis l’in-
4
fini jusqu’à zéro , étant toujours négatives.
On trouverait de la même manière en désignant par
cot,
séc et coséc ,les
cotangentes, sécantes et cosécantes,
cot
O =
00,
séc o = i,
coséc
0
—
CO
cot
7T
4 =
séc | = 00 ,
coséc
7T
4
—
I
cot
7T _
2
-
„ ■ 77
sec - =_,
a
coséc
TT
2
=
00
cot
11
o,
. 37T
sec —r — _oo
4
coséc
3tt
7
—
— I
cot
7? ~
00,
séc 7Î = I,
coséc
n
— co
On a en outre les relations fondamentales,tang^— — =cotx , sécQ- — x^— cosécx.
Toutes les autres propriétés et relations de ces fonc-tions étant, comme les précédentes, des conséquencesdirectes de celles des sinus êl cosinus, leur déductionne présente aucune difficulté j aussi nous allons nouscontenter de rapporter les formules les plus usuelles.
32. En partant toujours des expressions primitives Q3),si l’on veut obtenir l’expression de la tangente de lasomme de deux arcs a et b , on trouve
tang(*+ù) = S i^±r! = —
cos(a-j-p) cosa.cosè — siua.siuÆ