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et en divisant tout le second membre par cosa.cosÿ,

tang (a+b) =

sin a. cos b cos a . sinicosa.cos b ' cosa.cos bsin a . sinicosa.cosè

i —

tang(a-ffc) =

cot a cot b

SI -

sinq —sinft sin-|(a— b) .

cosa+cosi ~ cos i (a—b) ~ tan 8 » ( a ~^)

sin»—sinZ>

- = C05 i(«+ ^) _

cosi—cosa, sin ^ (a-f 6 j

cot-î-(a-}-&}

ce qui se réduit définitivement à (y) ,

tang(q+*j=-^L^- n <£-

i—tanga, tango

Si au lieu de diviser par cos a. cos b on avait divisépar sina.sin£>, on aurait obtenu

coso+cosi _ cos-i(a-f-i).cos-i(a— b)

cos b —cosa sin^(a+6).sin^(a— b)

_ cot-i(a-f-è)

tangi{â— b)'

34 . A l’aide de la formule (7) , ou peut construirela tangente d’un arc multiple en fonctions de la tan-gente de l’arc simple, car en y faisant d’abord a =3 b ,on trouve

cota.cot b —1On trouverait de la même manière :

. tanga — tangi cot 5—cota

tang(a— b) = —r-2-2— = —:— -—,

' i-|-tanga.tang6 i-j-cota.coto

COS OC I

Si l’on remarque qu’en général cota: — —:— =-,

* ’ 0 sin as tangx

on pourra conclure immédiatement

, . ,, 1 —tanga.tangJ cota.coti— 1

COt (a+i>) =-2-;-"-r = -j--

1 ‘ tanga -}- tango cota cot b

, i+tanga.tang6 cota.cotJ4-i

cot (a—b) = —E- 2 -?_ =«---

tang a — tang b colo —- cota

33. En employant de semblables opérations, ontrouvera encore

sin(a-f-i) tanga-}- tang b _ cotè-}-cotasin(a— b) tanga—tang b coti—cota

cos(a+£) coih — tanga cota—tangi

cos (a— b) coti-)-tanga cota+tangè

et, enfin, combinant les tangentes avec les formules (p) ton découvrira les théorèmes importans qui suivent,

sina + sinè _ sin-i-fq+lO .cos-H g — b)

sina — siui cos-j (a-|-i).sin-};(a-—£)

_ tang -t(q-) -Zi)tangi (a— b)

sina-}-sin& sin . ,, .

cosa-j-cosi cos-j (a-)-/)) o \ /

sina- j-sinZ) cos J (a— b) .

cosb—cosa ~ sin i (a—b) ~ coi *( a — b )

tang 2a

2 tang a1—tang 1 . a '

Puis, comme cette même formule donne générale-ment (<?),

tang(a+m«) = ii D i£+A a M™

1—tanga.tangma

faisant m = 2, il vient, après la substitution de la va-leur de tang 2a,

tang 3 a

3 tanga— tang 3 . a1 — 3 tang 1 .a

faisant m = 3 dans (S ), il vient encore , après la sub-stitution de la valeur de tang 3 a, et les réductions,

tang 4 a = tang 3 .*

En opérant toujours de la même manière, on obtien-drait les expressions de tang 5 a , tang6a, etc. j mais iln’est pas facile par ce moyen de découvrir la loi de cesexpressions, pour lesquelles nous allons remonter àl’expression théorique primitive des tangentes.

35 . Si l’on substitue dans la relation primitive tango?

= coia: * es ex P ress * ons théoriques (/1) du sinus et du

cosinus, il vient

tan x _ __L_j e 2 ^ 117 - , j

\ / '~ l ) ix \/—1 l

( e v 1 )

Telle est l’expression théorique primitive de la fonc-tion tanga:. Elle fournit en posant x = mz , («)

I umzt /— 1

_£___j;

2 mzy-T m

I