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Or, nous avons vu (u) que

zy/—i . . ;—

e r = cosz -j- sinz. y —i

—— 1 . /—e r = cosz — sinz. y/—i

mais ce procédé très laborieux ne fait pas connaître laloi de la série , tandis qu’une application très-simplede la méthode des coefficiens indéterminés va nous ren-dre cette loi manifeste.

Puisque les puissances paires de x manquent danscette série, posons

divisant la première de ces égalités par la seconde, ontrouve

2zy/—i cosz-|-sinz.\/—i

e — ;

cosz—sinz.\/—i

et, en divisant les deux termes du second membre parcosz,

^azy/—i_ i-f-tangz.y/— i

i—tangz.y/—i

Cette dernière égalité élevée à la puissance m donne

•imz \/—i _/'i-|-tangz\/—i'\"

Vi—tangzX/— i'

tang x = kx + Bx 3 + Cx 5 -f- Dx? + Ex 9 + etc.

et comme cosx.tangx=sinx, en substituant, danscettedernière égalité, les développemens aux fonctions, nousaurons :

(Ax-fBx 3 -|-Cx 5 -j-etc...). (i— ~ + -X_ —etc.)=

! X -

+

X-

X’J

- -irvnrïf- + etc

1.2.3 ^ 1.2.3.4.5 1.2.34.5.6.7

Effectuant la multiplication des facteurs du premiermembre et égalant ensuite les coefficiens des mêmespuissances de x dans les deux membres, nous obtien-drons

•tang z\/-

Ainsi, substituant cette expression dans (t) et faisantpour abréger tangz == t, il viendra

. 1 (i+V-i)"' —(1—V —0

tang mz = —— — ^- - ---

\/—1 (i-fty/— i) m -f- (1—ty/—1>»

développant les binômes et réduisant, on obtiendra dé-finitivement l’expression générale,

1.2 1.2.3

C = - B —

1.2 1.2.3.4 1.2.34*5

C B , A

^ 1.2 1.2.34 1.2.34.5.6 1.2.34-5.6.7

»i3|-i , . m 5 l—> 5 . p. — ~

/ntangz -^-tang 3 .z tang^.z-ete. E .-= -- -_ ---- + 7-3^ - —37,7575-

D

B

tangmz —

7.8

1 - T*-’ tang».s+- r4ir .tang.<z-etc.

36 . La génération technique en série de la tangente,au moyen de l’arc , a beaucoup occupé les géomètres.Le premier moyen qui se présente est de substituei dansla relation primitive

1.2.34.5.6.7.8.9

etc. = etc.

En divisant la série du cosinus par celle du sinus, ilvient

tanga; =

cosx

les séries (n° 20) qui donnent le sinus etle cosinus, et d’o-pérer la division j on obtient de cette manière :

. 11 1 - a ,

cotx *=- —-x— ---x 3 — 5-3-7.-?- x 5 — etc.

X 3 3.3.5 3.3.3.5.7

ce qui fait connaître la forme de la série de la cotan-gente , et alors si on pose

tango; =*+ 5 *’+ 3V5 **+ 3^- *’+

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+ * + etc<

TOME II.

cot x = A'. —[- B'x C'x 3 -j- D'x 5 -(- E'x 7 -j- etc.

la méthode que nous venons de suivre nous fait décou-vrir la loi suivante qui lie les coefficiens A', B', C', etc.

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