SI

SI

482

A.' = i

B’=- A '

1 . 1.3 1.2

f _ B'_A/__i_

C 7.2.3 1.2.34.5"*" 1.2.34

x __i__ ^ rcosa;-|-si n,r.y/—i l

2\/—1 Lcosa:—sinx. V — «J

or,

d'=- ç;

B'

. _l—

“ . « a / c « „ 1 i ? /

1.2.3 1.2. 34-5 ' 1.2.34.5.6.7 1.2 34 - 5.6

_ÇL_ w _

1.2.3 1 . 2 . 34-5 1.2.34.5.6.7

cosx-j-sinx . y/— 1 _ 1 -(-tangx. y/— 1cosæ—sin*. y/— 1 1 —tango?, y/—1

Ainsi, substituant, à la place de z, tanga;.y/—i dans

\

le développement de L^-j ^~" j, on obtiendra

tang 3 * . tang 5 * 1 tangua? .o?.= tangæ-"-1-*1- - -(- etc.

«J O 1

A'

1.2.34.5.6.7.8.9

+

1. 2 . 34 . 5 . 6 . 7.8

etc. = etc.

37. Les séries précédentes étant connues , il devientfacile, par la méthode du retour des suites {voy. cemot), de trouver celle qui donne la génération de l’arcau moyen des puissances progressives de la tangente ;série que l’on peut aussi obtenir par une simple appli-cation de la loi fondamentale des séries ; mais le procédéle plus simple est celui d’Euler que nous allons faireconnaître. La caractéristique L désignant les loga-rithmes naturels^ on sait que {voy. Logarithme)

38 . La série que nous venons de déduire conduit àcelle que Leibnitz a donnée pour la valeur de la cir-conférence du cercle, car, en observant que la tangentede l’arc de 45 °, ou de la huitième partie de la circonfé-rence, est égale au rayon, si l’on y fait tanga; = 1, ce qui

rend x = ÿ, elle devient

i* = *-4 + 4- - + + etc.

8 3 1 5 7 1 9 11

On reconnaît que la tangente de 45 ° est égale à l’u-nité en partant des valeurs. {Voy. n° 26 )

d’où

Z.” Z* Z * Z*

L{i+z)=z- 7 + i -£+5 -g+etc.

sin 45 ° = -r, cos 45 ° = *-

^ y / 2 v ' 2

... sin 45° y/2

tang 45 ° =3-= A-- = 1

0 H COS 45° y/2

en faisant x négative, on a aussi

L(.-Z) = - Z - - 7 —J “i- - etc -

3 z -4

d’où, retranchant la seconde égalité de la première ,L(,+») — L(i —zJ=L [~~] =2 |z+ ÿ+etc.j

ecci pose, nous avons

e x V / 1 =cos x-j-sinx. y/— 1

et, en prenant les logarithmes ,

jt. y/ — 1 = L(cosa? -f- s\nx \/—1et encore ,

— x y/—1 = L(cosæ— sinx. y/ — 1)retranchant la seconde égalité de la première, il vient

3 g. En combinant, comme nous venons de le faire,les valeurs des sinus de la table du n° 25 , on peut ob-tenir les expressions finies des tangentes; voici celles deces expressions qui peuvent être employées avec avan-tage ; les autres sont trop compliquées pour êtreutiles.

tang i 5 ° =3 2 — y /3tang >8 = y/ [1 -

tang 3 o° = ~3

tang 36 ° = y/ [5 — 2y/5|tang 45 ° = 1

tang 54 ° = V [. +

tang Go° = y /3

tang 72° = y /[5 -f- 2y/ 5 ]

tang 75° = 2 + y /3