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La construction des tables des tangentes ne demandequ’une suite de divisions lorsqu’on a déjà construit cel-les des sinus et cosinus ; on peut aussi les calculer direc-tement par les formules précédentes, mais ces détails nepeuvent trouver place ici.

Quant aux sécantes, lorsqu’il s’en rencontre dans lescalculs, on les ramène aux sinus à l’aide des relationsprimitives.

• 1 , i

seca; =-coséca; = -—

cosa' sina

comme on ramène aussi les sinus-verses aux sinus par lesrelations

sin. verse x = x — cos àc, cos. verse x — i— sina

Nous devons renvoyer, pour tous les détails de cettethéorie, à l’Introduction à Ianalyse des infiniment pe-tits d’Euler, et à la Trigonométrie de Cagnoli.

4o. Pour terminer ce qui concerne les sinus circu-laires, nous allons donner la déduction des expressionsgénérales des différentielles de ces fonctions, en partantdes expressions théoriques.

i i x\Y—i — xV/— i

sina = -= < e — e v

a y/— i

!

cosa;

i ( x\y— i . —x\/—i )

- ï I e +• i

1 _ x\/— 1 _

J e '(V—

d"‘\e X V ’l

L J=(—i)"

Ainsi (p)

x\y —i

.(\/—i ) m .dx m

, . *V — 1 , , — aV—i;

aY/” 1,

=i (v /Z7)"'. | e* V 1 • * xm

d"‘cosx

Or, nous avons vu, n° io, que ir étant la circonférencedu cercle dont le rayon est i, on a

7T — —

. - .

c = + v-', e = -lA-*

doûc

•zav^t

e 4 =(V— 1)“

substituant dans (ft) ces valeurs des puissances de \/ i,il viendra

efasina: =

, . mit. ,—

I i (*+ )V- Ï

2 y/—I

. , mit . . —

—(«+- £iV— 1

—e

/ i mn u ;—

. * ( (*+t ) V~ l

d m cosx — - ! 4

a 1 e

, nnt. .—

Rappelons-nous d’abord que la différentielle pre-mière d’une quantité exponentielle a* est ( Voy . Diff.

d\a z 1 — a*. La. dz

d’où il résulte pour la différentielle de l’ordre m l’ex-pression

d"‘[a z ~] = a* .(La) m .dz mDans le cas dea = c, onaia = i, et par suite,

— e 1 dz m

Si nous faisons a = x\/ —i, nous aurons aussi visi-blement

,dx"

+e

c’est-à-dire, en vertu des expressions mêmes dont noussommes partis,

xf'»sinx = sin ^ x + ^ xm

d m cosx = cos ^ x -J— dx n

Ces belles expressions sont dues à M. Wronski, qui afait également connaître la loi des différentielles succes-sives de la tangente. Nos limites ne nous permettent pasde rapporter cette dernière. (Voy. Philos, delà Technie,2 e scct., page 45i-)

4i. En remontant aux principes dont nous sommespartis pour déduire la théorie algébrique des sinus,on voit que la question qui est l’objet de cette théorieest complètement satisfaite par la fonction exponentiellegénérale

<px = (a”)*

et que le cas particulier où l’on prend m = Y/— x eta — e n’est en réalité que le cas le plus simple desfonctions transcendantes auxquelles la transition de la