m si

si

numération aux facultés donne naissance. En effet, non-seulement on peut former une iufinité de systèmes dif-férent de sinus en prenant pour la base a des quantitésarbitraires; mais la valeur y/—i, que nous avons choi-sie pour m , afin de faire sortir la fonction a mx de laclasse des puissances susceptibles d’une déterminationimmédiate, est la plus simple des racines dites irnagi -naires que l’on peut employer pour obtenir ce résultat.

an

En prenant par exemple la racine générale V— 1 >l’expression fondamentale

q>x

an

/ V^\ x

(a v )

conduirait à des fonctions transcendantes d’ordres deplus en plus élevés, dont nous ne pouvons ici que signa-ler l’existence.

Mais pour compléter au moins la partie élémentairede cette théorie, il nous reste à examiner les fonctionsqui résultent du cas en quelque sorte primitif où n= i,et où l’on prend le signe + sous le radical, c’est-à-dire,le cas où l’on a

»*= ( .v+' y

Alors la fonction <px n’est plus une fonction dérivée élé-mentaire dans le sens que nous avons attaché à cetteexpression, puisqu’elle rentre dans la classe des puissan-ces ordinaires, mais elle n’en a pas moins des propriétéstrès-remarquables qui doivent la rendre l’objet d’uneconsidération particulière.

4 a. Si l’on remplace \/—i par Y/+ 1 dans la déduc-tion que nous avons donnée (Philosophie, 6a) des ex-pressions théoriques primitives des sinus et cosinuselliptiques, et si l’on observe en outre que y/-j-i = —on obtiendra pour la nature de la fonction tpx

Qx = Fx -j- fx.

les deux fonctions F x,fx offrant les relations

Fx -f- fx = a+*

Fx — fx — a—*

qui conduisent aux expressions théoriques primitives deces dernières fonctions, savoir :

hyperbolique. La quantité variable x est le double dusecteur compris entre le premier axe et le rayon vecteurmené du centre au point de la courbe dont l’abscisseest égale à Fx et l’ordonnée égale hfx.

En prenant les secondes puissances de ces expressions,on obtient pour la liaison des sinus et cosinus hyperbo-liques

(Fx)> — (fx)' = i.

4 i. Si l’on prend pour la base a Ienombre e, base deslogarithmes naturels, on obtient le système des sinusde l’hyperbole équilatère , système qui correspond àcelui de l’ellipse équilatère ou du cercle. Ainsi dési-gnant par les caractérisques ; A. etcA. les sinus et cosinusde l’hyperbole équilatère, nous aurons pour les expres-sions théoriques primitives de ces fonctions (»)

sh.x

ex — e—*3

ch. x

e x -j- e—*

2

Il nous reste à démontrer qu’on retrouve effectivementde telles quantités dans la géométrie.

42. Soit BC (PI. 67, fig. 9) une hyperbole équilatèredont le demi-axe transverse AB = 1. AC étant un ravonvecteur quelconque, si l’on compte les abscisses ducentre A, AD sera l’abscisse et DC l’ordonnée qui cor-respondent au secteur hyperbolique ABC, ou, respecti-vement, le cosinus et le sinus de ce secteur.

Pour obtenir d’abord l’aire de ce secteur, observonsqu’elle est égale au triangle ADC diminué de l’aire hy-perbolique BCD, ou qu’on a

ABC = ADC — BCD.

Cette égalité donne, en prenant les différentielles,

rf(ABC) = <f(ADC) - d(BCD).

Or, désignant AD par x , et DC par y, nous avons

ADC = *AD XDC ==ix.l/(x 2 --i),

car l’équation de l’hyperbole équilatère dont le demi-axe transverse est Y unité est y 1 = x' — 1. (Voy, Hy-perbole.) Il en résulte

Fx = -2

f*

| a+* -f- a-x || a+ x — a~ x |

j/kT\r\ •ix'dx—dxrf(ADC) = ^ W _ T) .

d’autre part (voy. Quadrature) ,

cf v BCD) —ydx = dx.\/(x'—i).

jL,a dernière de ces fonctions est ce qu’on nomme sinushyperbolique , et la première, ce qu’on nomme cosinus Ainsi