SI

d{ ABC)

dx

o\/(x 2 —i)

entégrant les deux membres de cette dernière égalité, ilvient

s.ABC = L[* +v /(*’-i)].

L désignant le logarithme naturel. Ainsi, exprimantpar z le double du secteur ABC , nous aurons l’égalité

z = L[x+\/(x’-i)]

d’où, passant des logarithmes aux nombres,

e 2 = x + \Z(x' —i)*

En faisant z négatif , nous aurons évidemment en-core

e-* — x — \/(x ‘— i )

ces deux dernières égalités étant la même chose quee‘ = x-j-ye —*— x —y

on en tire

x =

e* — e-

e* + e *

ou, comme ci-dessus,

e* — e -2

sh. z =

ex + e—*

, ch.z = -*-

2

En faisant z négatif, on a généralement

sh.(—z) = sh.z, cli.(—z) = ch.z.

43. D’après la nature de ces fonctions, leur loi fon-damentale est donc

(ch. x t -|- sh. x,).(ch.x.-)-sli.x4.(ch.X3-}-sh.X3)....etc.= ch^x,-^-^.^ etc ^ + sijj.,. +x,+x, + etc...)

et c est de cette loi qu’on doit déduire toutes leurspropriétés.

D’abord dans le cas de a:, = ^ ^ = etc... = a:,

si nous désignons par m le nombre des facteurs dupremier membre, il viendra

(ch.x -f- sh. x )"• = ch. mx -f- sh. ma r,

et en faisant x négative

si m

(ch. x •— sh. x) m — ch. mx — sh. mx

expressions semblables à celles des sinus circulaires etdont on peut déduire les séries qui donnent le sinus etle cosinus hyperboliques du secteur multiple en fonc-tions des sinus et cosinus du secteur simple.

44- a? et z étant deux secteurs différens, on a , d’aprèsla loi fondamentale,

(ch.x+sh. x).(ch.z-j-sh.z) = ch.(x-f-z) -f- sh.(x-f z)

(ch.a;—sh.a:).(ch.z—sh.z) -- ch.(x-{-z) — sh.(x-|-z)

Si, d’une part, on ajoute ces égalités ensemble etque, de l’autre, on retranche la seconde de la première,on obtiendra , après avoir développé les produits,

sh.(x-}-z) = sh.x.ch. z -j- ch.x. sh.zch.(x-|-z) = ch. x. ch.z + sh.x.sh.z

ce qui donne, en faisant z négatif

sh.(x—z) = sh.x.ch.z — ch.x.sh.zch.(x—z) = ch.x.ch.z — sh.x.sh.z

ces théorèmes sont analogues à ceux des sinus circu-laires.

45. A la valeurx = o correspondent, dans les expres-sions primitives, les valeurs

sh.x = o , ch.x = i

et il est facile d’en conclure qu’à partir de o jusqu’àl’infini, pour la valeur du secteur, le sinus hyperboliquecroît de o à l’ infini et le cosinus de Y unité à l’infini, ce quirompt la ressemblance entre les sinus hyperboliques etles sinus circulaires. On a d’ailleurs encore les autresfonctions dérivées

sh.x

ch.x

tanghyp. x, = séc. liyp. x

ch.x , 1 , ,

= cot. hyp. x , — ^ = cosec. hyp. x ;

sh.x

mais comme la théorie de toutes ces fonctions ne pré-sente aucune difficulté, nous ne nous y arrêterons pas.Nous devons seulement faire remarquer que dans lessinus elliptiques , en général , la variable représenteaussi un secteur j si, dans le cercle, et par suite dans lessinus circulaires,cette variable exprime un arc, c’est uni-quement parce que dans cette dernière figure les sec-teurs sont proportionnels aux arcs.

46. L’analogie du cercle avec l’hyperbole équilatèreconduit naturellement à la considération des sinus hy-perboliques , comme à celle de la liaison qui existe en-