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d’où l’on pourra déduire le terme sommatoire de la sé-rie des nombres figurés du quatrième ordre, et ainsi desuite.

Pour considérer ce problème dans toute sa généra-lité, proposons-nous de trouver le terme sommatoirede la série dont le terme général est

x(x~ 3 t£){x+ 7 .î) -(x+(p— I )i)

1 . 2.3 .f*

ou simplement

XH-\‘

7 w>

en nous servant de la notation des factorielles. (Voy. ce

mot.J

Nous avons vu (Diff. , 22) que la différence pro-gressive de l’ordre n de la factorielle x/*l* est

\n X ft.\i = 1. 1”. (x-l r ni)! x ~ n \‘

faisant donc dans cette expression n = — t , nous ob-tiendrons

A— l xtA i = Zr/d' =

(x—»)/*+*1*

(f+> y

Ainsi, désignant simplement le terme sommatoire-cher-c bé par S , il viendra

0 (x —, xt*l*‘

it‘l‘.(fT+i)i i/*l*

_ ( x —+ (p-|-4)i. xfM‘

(p-j-1 )i. if*l 1 ‘

Mais {x — = (x —i).xpU et x — i -J- (p-j-i)t

= x -J- jtî ■ déplus (xfipi ). xf*! 1 ' = «(*+>1*; donc oua définitivement

S =

i/'+iïi.t

-j- const.

En faisant dans cette expression i = i, et supprimantla constante, on en tire les termes sommatoiies de toutes les séries de nombres figurés. Il suffit pour cela defaire p égal au nombre qui indique l’ordre de la séiie.

6. On peut déduire très-facilement des formules pi é-cedentes le terme sommatoire de la série générale in-verse de celle que nous venons de traiter, c’est-à-dire ,delà série dont le terme général est

1.2. 3 . 4 - • - .fi. _ iPl 1

• • - (x+^T-iy) 7 fM*"

En effet, si dans 2x/d‘ on fait p négatif, on obtient

ZT—t* 1 '

2 —

(x

i _ (x — i)— f i + I l‘

p i)(M« (i— fi)i 1

(x —pi) fd« (i—pi?.(x—ptjP - *1*

substituant dans cette dernière expression x à x— pi,elle devient

t r

V_ —. _

xf'-l* (i— p)i.x/ t -— , \ i

Le terme sommatoire de la série proposée est donc

ifdi

(fi —i)i.xf*—1|«

i/*h_

‘ x 7 ‘

ou, en réduisant (d)

S

iW 1 _

(p-0*.(*+i)>-‘li

const.

S’il s’agissait de la série inverse des nombres trian-gulaires ou figurés du second ordre [e)

i

il i i i

3 ’ 6 1 i o 1 1 5 1 20 ’ 28

etc.

on ferait p = 2, et l’on aurait, i étant égal à 1 ,

S =-— 4 - const.

x-f-t 1

comme on doit avoir S = 1 lorsque x = 1, on a pourdéterminer la constante l’équation

1

1.21 + 1

-(- const.

d’où , const. = 2, et par suite

S 2 _ ‘L. = 2 fL.

x-j-i x+i

Cette valeur de S se réduisant à 2 lorsque x est infini,on voit que la somme totale de la série (e) prolongée àl’infini est égale à 2.

L’expression ( d ) ne peut servir pour obtenir le termesommatoire de la série inverse des nombres naturels ,car en y faisant p = 1 , le facteur 1 — 1 rend sa partievariable infinie. Cette série est du genre des séries ditesharmoniques , qui ont été regardées pendant long-temps comme l’écueil de l’algèbre. Nous allons indi-quer un procédé très-ingénieux , dû à Kramp, à Laideduquel on peut sommer toutes les séries harmoniques.

7. Considérons la série de factorielles continuée jus-qu’à l’infini

«nlr -J- (n r) n \ r -j- {a—irfir -f ( a _ 3 r )„ir etc.