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elle nous fournira les différences,
SO
A a n 'r = a n 'r — (a—r) n \ r = nr.a'"-«kA > a n l r n[n — i)r*.a— »k
A 3 a n 'r = n(n —t) (n—2)r 3 .a n — 3 ketc. = etc.
Ainsi, comme il faut ici considérer comme négatif l’ac-croissement des différences, nous aurons en général(voy. Diff., 22)
A/ i a"k = «f 1 ! 1 rt J -.a n -V-\ ret en faisant p = 1
x n+i|r j us< l ua wr _,.) n+ ,|r' e S a,e * (/) f
jl r_*_ » i
nr Lx n k (a:-|-mr) K k J
et si l’on prend la somme de ces mêmes fractions à l’in-fini , elle aura une valeur finie, égale à
1
nr.x n \ r
c’est ainsi que l’on trouve, par exemple, que la sommedes fractions
2 a»k =
a n +>k(n+i)r ’
c’est-à-dire, d’après le n" 3 , que la somme de la série
s , 1 Æ**+ , ! r
en question est, à l’infini, égale à
Si l’on considère le terme du rang m -\-1 , savoir(a — mr) n \r comme le premier de la série , la somme destermes de cette même série depuis ( a — mr) n \ r jusqu’àl’infini sera
—5 -f- =—f -f- r— -f- ——|-(- etc... a l’infini,
1.3 1 3.5 1 5.7 1 7.9 1 9.tt 1 '
est égale à J. Que la somme des fractions
1 . 4.7 4-7-io 7.10.j 3^io.i3.i(i*
est égale à -L. Et ainsi des autres.
24
-etc. à l’infini.
(a— mr ) n +ik
(n+0'’
et, par conséquent, la somme des m premiers termes,c’est-à-dire, depuis a n \ r jusqu’à {a—mrr) n 'x inclusi-vement , sera égale à
Lorsqu’on fait n infiniment petit les factorielles de-viennent de simples puissances et l’on a d’uu côté lasérie harmonique,
l + FfTr + + etC
;—■ [a n + I l r — (a —mr>+ , l»q.
(re-|-i).r ' J
Si l’on veut prendre le dernier terme pour le premieret renverser la série, on posera a — mr-\- r = x , d’oùa — x-\-mr — r , et l’on aura pour la somme de lasérie des m factorielles
x n\r -f- (jc+2r) n k-j- etc.... (x -{- mr —r) n k
l'expression
tandis que de l’autre l’expression (f) de ses m premierstermes se complique d’une quantité infiniment petite etdevient indéterminée. Mais nous avons vu (FacuItes)
qu’en désignant par A —LL— la série
’ x-\-mr {x-f-mrf C * C ’
(^fï)T7- [(■ r + mr — r > + ’ ,r — (z-^+'kj
si l’on substitue - nà-j-n, cette expression devient
]
et elle représente alors la somme des m fractions depuis
(x—nr)»k’ J us 1 u —nr-J-mr—/•)"k‘
Bemplaçant x —nrparla seule lettre a: et « — 1 parn, on trouvera donc la somme des m fraction», depuis
—i... f_ï_!_
(n —1 )r [(ar— nr) n —A r {x—nr-\-mr) n ~ l \’-
dans laquelle 0 t , 0 ,, 6a, etc.' sont les nombres de Ber-uouilli, on a
- \ r
(*+ mr f° = 1 + W | Lo &(*+'»’') — A ~L_ |
Nous aurons donc aussi, en supposant n infinimentpetit,
1
X~ n \ r
r
x
(ï+^7j=k= 1 ~ « Log(x+mr) + « A -p-