so
et en substituant ces valeurs dans (/) n disparaîtra. Onobtient de cette manière pour la somme des m premierstermes de la série harmonique , l’expression (g )
ijug ('£+”'■') +- A-s-
r ( 0 V x J ' x x-f-mr
La fonction A y égale à Q, .y -(- .y 1 -f- d 3 .y 3 -f- etc.
est très-convergente lorsque^ est une petite fraction, et
>1 suffit des deux premiers termes 6 ,y -|- 0ay* oupour en trouver la valeur avec sep t décima-les exactes, pour peu que - soit au-dessous de—.Ainsi
m
10
pour rendre ce procédé parfaitement applicable à tousles cas, il faudra calculer à part les dix premiers ter-nies de la série, les ajouter ensemble, et employer en-suite les formules pour trouver la somme des autres.[f'oy. Kramp. Arith. universelle.)
Par exemple, on demande la somme des cent pre-miers termes de la série i + -+ s-4--t + etc.
1 a 3 4
La somme des io premiers termes de cette série est
a -J- HMl ou , en décimales, 2,9289682, reste donc2020
a déterminer la somme des 90 autres.
On fera dans (g) x = 11 , r = 1 et m = 90, et lasomme demandée sera exprimée par
yun\ . 1 1
Log( — ) -J- A — — A :—n/ 11 101
réalisant les calculs, on trouve
Logn =2,3978953
A — = o,o46i433
A-= 0,0045124.
101 ’
La somme des termes depuis — jusqu’à , sera
donc2,258856i et celle de tous les 100 termes 5,1878243.
Jean Beinouilli a démontré le premier d’une ma-nière très-ingénieuse , mais indirecte , que la sommetotale de cette série est une quantité infiniment grande,vérité que d autres géomètres ont démontrée depuis pard’autres procédés et qui paraissait alors très-singulièreeu ce que les termes vont continuellement en décrois-sant. Pour obtenir la somme de toute série harmoniquecontinuée à l’infini, il faut dans l’expression (g) faire
SO 495
= go , et comme alors log^i- ^ devient infini
taudis que A - reste fini et que A ^_^_ -— disparaît, il
en résulte que la somme de toute se’rie harmonique ,continuée a Vinfini, est elle-même infinie.
8. Dans les formules précédentes, la valeur numé-rique de la fonction désignée parA^, est tout aussidifficile à obtenir que celle de la somme dont elle fait
partie, lorsque y n’est pas moindre que — et l’ex-pression (g) serait d’un faible secours si elle n’ofrfiait elle-même un procédé très-simple pour trouver&y quel que soit y. E11 effet m étant un nombre arbi-traire, si l’on fait m = 10 et x= i et qu’on désignepar S la somme des 10 fractions
1 -|- etc... +
i+9 r
‘ i -f- r' 1 -J- 2r~ i 3 r
on aura en vertu de (g)
S = ï jLog(i + lorH-Ar-A. ^-jd’où l’on tire (h)
f •
Ar = rS —Logfi 4- 1 or) 4- A— ;-
1 1 1 j -j- ior
Ainsi, r étant un nombre quelconque, on obtiendra la
f*
valeur numérique de Ara l’aide de celle de A— - -,
* 1 -f- 1 or-
que les deux premiers termes de la série suffisent pourfaire connaître avec sept décimales.
Proposons nous par exemple de trouver avec septdécimales la valeur numérique de a 4 * Nous cherche-rons d’abord la somme des 10 fractions 1, -, etc...
5 9
ce qui nous donnera S= 1, 6262894- Nous calcu-lerons ensuite
A—P^——A,— = 1 ■ >-1 = o,o49 5 73 7 ,
i-j-ior 4i 2 41 v 6 4iy 1 ' n
•
quant au logarithme naturel de 1 -f- 10 r ou de 4 1 » lestables donnent 3,7135821 ; ainsi substituant toutes cesvaleurs dans (h) nous obtiendrons définitivementa 4= 2,841159'i.
Cherchons pour second exemple la valeur numéri-que de A Nous avons d’après (h ),
.4 4 c T 43 . 4
A S - 5 S-L» gT + A^.