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SO

so

, tuant dans (Æ), et désignant par n la valeur de la série,

Le produit | S désignant la somme des fractions nous aurons

4 _L. 4 4 . A- 4 . etc. iusqu’à J-, il viendra en réali-3^7^11 J ^ 3g

saut les calculs = 3,4t3534o. Nous trouverons de

^ X 3

plus A^ = o,0472327; etcommeLog ~ =2,6625778,

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il en résultera A 4 == 0,7981789.

9. Si la somme de toute série harmonique, conti-nuée à l’infini est une quantité infiniment grande , ladifférence de deux séries harmoniques continuées toutesdeux à l’infini, est toujours une quantité finie. En effet,d’apiès ce qui précède, la somme de la série

mais

Donc,

TT = Log 3 + A4 — a 4

Log 3 = 1,0986123A4 = 2,8411Ü92

3 >9 3 977‘ 5= °,798i7 y 9

7r = 3,14 1 SgaG

+ + 4- + 4 “ '

r . rx

est

T fx+mr\ t r

Los ( x J + i

et celle de toute autre série harmonique

i + ÏÇ? + ^Tr + CtC ’ à

est également

Sz4-mr\ . r

Lo « +

m étant une quantité infiniment grande.

La différence de ces deux séries, ou la série (i) ,

r r r r r r

--f- —j— — —.— 4" '—i -4" CtC.

x z x-\-r x-f-zr z —2Z

aura donc pour somme (A)

Lo 6 \ + A

r r

-A -.

X z

Cette dernière expression donne les moyens de déter-miner avec la plus grande facilité les valeurs numéri-ques d’une infinité de fonctions très-importantes. Nousl’appliquerons seulement à la série remarquable ,

4 _ 4 , 4 _ 4 , 4

1 3^5 7^9

— 4- etc *

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qui exprime , comme on le sait, le rapport du dia-mètre à la circonférence.

Nous avons ici r =4 , * = !, * = 3 ; ainsi , substi-

Il faudrait ajouter ensemble près de 100000 termes decette série pour obtenir une valeur de ■k aussi appro-chée que celle qui résulte de ce calcul si simple.

10. Ce n’est que dans un très-petit nombre de casqu’on peut obtenir soit le terme sommatoire , soit lasomme entière des séries sous une forme tiuie , et l’onvoit que le problème général de la sommation des sé-ries se ramène à celui de transformer une série donnée,dont la convergence n’est pas assez rapide pour faireconnaître Sa valeur numérique, en une autre sérieéquivalente , dont la convergence soit telle qu’il suffised’un petit nombre de termes pour déterminer savaleur. Considéré de cette manière, ce problème a étél’objet des travaux des plus grands géomèLres, et nousregrettons de ne pouvoir faire connaître les transfor-mations ingénieuses à l’aide desquelles Moivre , Stir-ling , Euler, Herman, Maclaurin , Lagrange , Simpsonet tant d’autres l’ont résolu de diverses manières. Nouscroyons cependant devoir exposer un procédé singuliè-rement commode, dùàHuttou, pour sommer, par ap-proximation, toutes les séries dont les termes sontalternativement positifs et négatifs.

Après avoir réduit en fractions décimales les dix àdouze premiers termes de la série proposée, on les écritles uns au-dessous des autres, ce qui forme une colonneque nous désignerons par A. A côté de la colonne Aon en forme une seconde B composée successivementdu premier terme de A , de la somme des deux pre-miers , de celle des 3 premiers et ainsi de suite. Unetroisième colonne C se forme ensuite en prenant lamoyenne proportionnelle arithmétique entre les deuxpremiers termes de B , puis entre le second et letroisième et ainsi de suite. Une quatrième colonne Dse compose, de la même manière , des moyennes pro-portionnelles entre les termes de C. Enfin, 011 conti» llC

ces colonnes de moyennes proportionnelles, jmqu a ce

qu’on parvienne à une dernière colonne qui ne conticn-