m

so

so

dra plus qu’un terme. Ce dernier terme sera une valeurapprochée de la série, d’autant plus exacte qu’on auraemployé un plus grand nombre de termes. Avec dixà douze seulement on obtient ordinairement six a septdécimales exactes. Voici un exemple de ces calculs surla série traitée ci-dessus :

i

— etc.

qui est une de celles dont la convergence est la pluslente. Nous savons d’ailleurs que -j v: = 0,785398...

En vertu du théorème de Taylor, nous auronsfx = fx

r .d*fxI+Hë *

r»

dx

i.a

dfx

2r , d’fx

' T + -&-

4 r*

dx

1.2

dfx

3 r dfx

1 ‘ dx*

dx

1.2

etc.

etc.

etc.

etc. = etc.

A

+ 1,000000

— 0,333333+ 0,200000

— 0,142857

+ 0,111111

— 0,090909■+■ 0,076923■— 0,066667

+ 0,058824

— 0 , 05 x 632+ 0,047690

B

1,000000

0,666667

0,866667

0,723810

0,834921

0,744012

0,820935

0,754268

0,8130920,7604600,8081 5 o

C

o ,833333

0,766667

0,795238

0,779365

0,789466

0,782473

0,787601

0,783680

0,786776

0,784305

D

0,800000

0,780952

0,787301

o, 7844 , 5

0,786969

0,785037

0,786640

0,785228

0,785540

Si nous retranchons chacune de ces égalités de cellequi la précède, il viendra

dfx r

dfx r* . dfx r 3

-f—. - \-~rr- —-5 —etc.

dx* 1.2 1 dx 1 1.2.3

.. . dfx r

*f(x-r) = - d -.~

d}fx 3 r’ , dfx jrf_ __dx* 1.2 ' dx y 1.2 .3

, dfx

tf(x—ir) = - d -

r

1

dfx 5 r* d 3 /x igr 3dx* ' 1.%' dx 3 ' 1.2.3

Arrivé à la colonne D , l’inspection de ses valeursContre que les derniers termes convergent plus rapi-dement que les premiers ; alors, pour abréger, on secontentera de continuer le calcul sur les quatre dernierstermes, ce qui donnera

D

0,785087

0,785640

0,786228

0,785540

E

0,785338

0,785434

0,785384

F

o, 7 853860,785409

G

0,785397

la valeur G est exacte jusqu’à la cinquième décimale.En prenant quelques termes de plus et plus de décimaleson approcherait davantage.

Ce procédé peut s’appliquer avec succès à des sériesmême divergentes. La célèbre série hyper-géométriqued’Euler , 1 — 1+2 — 6 24 — 120 -J- etc., traitée

de cette manière, donne o, 5 g 63473 -J- etc. pour sasomme.

11. Considérons maintenant le problème de la som-mation des séries d une manière plus générale, et, dési-gnant par/à? une fonction quelconque delà variable a;,proposons-nous de trouver la somme ou du moins lasérie sommatoire de la suite ,

fx +/(x~r)+/(*-2r) 4- /-(x—3r)-f etc.

TCHU II.

etc. = etc.

Opérant de même sur ces dernières pour avoir lessecondes différences , puis sur celles ci pour avoir lestroisièmes différences, et ainsi de suite, on tiouvera enrassemblant les résultats,

dfx

V* = ~dx

1 dfx _l_ dfx

2 ~dx' —T 2.3 ' dx i

r 3 — etc.

ts*fx

df*

dx 1 '

r*

3 dfx , j 7 _ dffx

3~d ^' + 3 . 4 ' dx* *

r 4 -

etc.

ù?fx =

dfx 3 6 dfx , 2^ dfx 5

d~c*' F ~ 4 ofx 4 ‘ 4"-5 ' dx> * r

etc*

. . d\fx

i o dfx

65 dfx

r K « d

5 dx?

5.6 dx 6

r 6 — etc.

etc. = etc.

En examinant les numérateurs des coefficiens numé-riques de ces expressions, on voit qu’ils sont identique-ment les mêmes que ceux des développemens des fac-torielles (• voy . ce mot) à exposans négatifs , car ils sontformés, comme ce» derniers, par les différences pre-

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