498

so

mières , secondes ,•• troisièmes, etc., des puissances desnombres naturels i, 2, 3, 4, etc. Désignant doue, commenous l’avons déjà fait par (min) le coefficient généralde la factorielle dont l’exposant est m , et par ( rn’In )celui de la factorielle dont l’exposant est — m , nousaurons évidemment pour la différence de l’ordre m dela fonction fx l’expression

à.mr x=t ±fr' dm + l fx ^ +I

’x m wi-j-i dx m + l

+ , m+1

' (r/i-j-1 )(m-}-2) dx m + 2

_K_/3]__ d**yx r ; +3

(itt+iX^H^X^-M)' dx m + 3 '

-(-etc.

«

Si nous faisons »i=s— 1 , le second membre de cette éga-lité exprimera la somme de la série proposée ( voy. ci-dessus, n° 4), et comme le coefficient numérique (m'In)devient (min) lorsqu’on change le signe de m , noustrouverons, en désignant par S la somme des fonc-tions ([)

S x +/(•*—r) -f /(*— 2 r) + f(x~3r) -f etc.

S = - f fx.dx + fx-V* rr J J ^ o J o.i dx

(iZ!), r ,

o.i.a dx 1

_ ( |7 *) di f* 3

o.1.2.3' dx 3 ‘ r

-f- etc.

Le coefficient (min) devenant xéro toutes les fois quem es t plus petit que n ( voy. FactorielIes, i 4) lesquantités

(iZO (l/a) (t/3) (,/4)

O ’ O ’ o ’ O ’ etc '

sont de l’espèce de celles qui se réduisent à - pour cer-taines valeurs de la variable qu’elles renferment, etelles sont comprises sous la forme générale

(min)m —1

car elle* sont en réalité ce que devient cette expressiondans le cas de m = 1. Ainsi on obtiendra leur valeur,en considérant m comme la variable, et en différentiaut

$0

le numérateur et le dénominateur (voy. Diff., 47 ), cequi donnera généralement

d(mln)

dm

Ces coefficiens numériques sont donc, dans le cas dem = 1, les dérivées différentielles des coefficiens de lafactorielle du degré m. Nous allons procéder à la déter-mination de ces dérivées différentielles dont l’impor-tance se manifeste encore dans un grand nombre dequestions intéressantes.

12. Si dans le développement de la factorielle géné-rale a m \ r , nous faisons pour plus de simplicité a — 1 ,nous aurons (voy. Factorielles , i 4 )

jm|r — j _j_ (mli)r -)- (mll)r* (mI 3 )r 3 -f- etc.

les coefficiens (ml 1) , (mli) , etc., ayant les valeurs (b)daus l’article cité.

En considérant m comme une quantité variable ,nous obtiendrons, en différentiaut les deux membresde cette égalité , (m)

d(i m I r ) — r,d(mh) -f- r'.d(mli) -f- r 3 .d(mI 3 ) -f- etc.

Ainsi, en développant d’une autre manière <é(i’"l r )enSérie procédant suivant les puissances progressives de r,la comparaison des coefficiens pourra nous offriil’expression particulière des différentielles d(mh) }d(ml2 ), etc.

Or, si nous désignons par n l’accroissement infinimentpetit ou la différentielle de m , l’accroissement corres-pondant subi par la factorielle est

jw-fn]r —

mais nous avons (Factorielle , 3 )

I m+n\r == iMr. (i-|_nr) m I r

dont le premier facteur i B l r se réduit à 1— nS.r, a causede n — 05-, (voy. Facultés) et dont le sccODd(i-f-nr) n, l r ,étant développé, donne

(i-f-nr) m l r = (i-f-nr)™ -j- (m/i).(i-j-nr)'»—1 ,r

+ (mli) ( 1 -(-71/7)"*—>4^ -}- etc.

llemarquons maintenant que le développement de lapuissance générale (i-f-nrjf 1 se réduit à ses deux pre-miers termes i-|-pw, en négligeant les termes affectésdes quantités infinûneut petites des ordres supérieurs