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n 2 , n 3 , etc. , et, par conséquent, que l’on peut donnerà cette dernière égalité la forme

(i = { i+(mh).r+(mh).r 2 +etc. j

— mr 2 . { (mIi)-\-i{mIi). r-f-3(m/3).r’-f- etc.}

Dés ignons maintenant par n la série

{mit) + 3(//;/3).r’ + 4 ( 771 / 4 ).r 3 + etc.

Comparant ce dernier développement avec le prc-mier(>«),on voit que d(mh)=k t .dm, d(ml±)—k,.dm }etc., ce qui donne pour la dérivée dif-férentielle du coefficient général (m /p) l’expression ( n)

= (m—(p—i)-9 l ).(mlft—i)—9,.(ml t i—ï)

— 03 .{mlft, —3)

— 4)

et l’expression que nous venons de trouver sera identiqueavec

(i-|-H/-' 1 m|r == 3 (i-J-tzt’). i m ; r — mr 2 .IJ

— etc.

— 9^-,. (mil)

= i m ! r -|— (nr. i m \ r —r’.n)wi

Multipliant cette dernière par 1 — n\r , nous aurons dé-finitivement , en retranchant le terme affecté de laquantité infiniment petite du second ordre n*

I»i+n[r — in[ r .(l-f-rt7’) ffI l r

= i» 1 l r -f- (mr. ï m \ r — r 2 H)n — n.\ m \ r .\r

Ainsi, retranchant i m l r de part et d’autre et rempla-çant n par dm, nous obtiendrons pour la différen-tielle de la factorielle i m I r

On ne doit pas oublier que dans cette expression tousles termes affectés des nombres de Bernouilli à indicesimpairs, excepté le premier 9,, disparaissent parce quetous ces nombres sont zéro.

i3. Si dans l’expression précédente nous faisonsm — 1 , toutes les quantités (mh), (m/ 2 ), etc. devien-nent o , et l’on a simplement

d(ml/j) _

dm - **

d'où, en général,

d(i m l r ) = (mr. 1 r’.II — l’ilr.Krj.dm

Si nous remplaçons dans cette expression les quantités1 U et Ar par leurs développemeus

sauf la première quantité qui est 1 — £

t . . , ( 1 / 2 ) . ( 1 73)

Les autres sont donc, *- - = — 0., -- - ■.

o ’ o

t'”!'- = t -f. (mh ). r -j- (mli).r 2 + (tm/ 3 ). 7-3 + etc.n = (m/i)+ 2 (m/ 2 ). r+ 3 (m/ 3 ). r* + 4 («/ 4 )r 3 + etc.

Ar =e..r-f9,.r 1 -j-03.r 3 -f-9t.H-|-etc.

Nous trouverons, en effectuant les produits et en ordon-nant selon les puissances de r,

d(\ ”>|r) = J,r.dm-\-k,r 2 .dm-^-kié^dm-^kif^dm etc.les quantités A,, A., A 3 , etc. étantA,=m— 9 X

k,=(m— 1 — 9 .). (mh ) —e,

 3 =(m—a—0>) • (m/a)— 9, . (mh)—6 3ki=(ni —3 — 61 ) • (ml'S) —9,. (m h) —9 3 (mh ) —0 4k s =(m —4—0iV(m/4)—fe.(m/3'—0jf 771 / 2 )—0<(/»/i) -

_e 4 < 1^=0 il^ = _ 0 6 (^7)- o

= — 6 t , etc., etc.o

Substituant ces valeurs dans la série sommatoire (l), elledevient ( 0 )

8 -î/ A .*fÎA +fc .!

, „ d*fx r , ,

+ ’ OTÏTI + ctc<

aaus laquelle les nombres 9 ,, 0*, 06, etc. ont les valeursconnues

9,

+ — . :1 12

120 ’ +, 52 ' e,:

!->— etc.

240

etc.= etc.

(Voy. Facultés, 194