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14. S’il s’agissait seulement d’obtenir la somme desm premiers termes de la série, depuis fx jusqu’à

y _ fjn _,) r ) f il faudrait évidemment retrancher

de S la somme des termes depuis f(x—mr) jusqu’àl’infini ; or, cette dernière somme, en la désignant parS', et en faisant pour abréger x—mr = z, est

SO

quable où la fonction f désigne une puissance quelcon-que des variable a? et z , c’est à-dire, au cas où l’on de-mande l’expression de la somme des m puissances

z/* -f- (z-j-r)/ * 1 + (z+2r)p-f-etc. jusqu’à ,{z-\-mr —r)/*

Nous avons ici x == z ■+• mr, et

S' = ^ 'j'fz.dz-\-^ fz + 0. . ^ + etc. fi = zf* > f x — (ï+wr)! 1

. , r j- j z ’'‘ +i fi* > *p+> (•s+'«r)i*+'

Ainsi, la somme demandée, ou le termesommaloire de J Jz.dz — ^p 7 ’’ J ' x ' ax ~ fi- jT 7 ———

la série, peut être mis sous la forme ( p ),

: [a-a]

B k .r^d]fx d*Jz "J

i.2.3Lrtr 3 * dz 3 J

, Sfj.r 5 rdïfx dfi !

' I.2.3.4-5L dx s dz 5 J

+ etc.

1 5 . La suite décroissante

- J - = .xP~ n = p n l—i.(z-)-mr)M—",

dfi ,

-•fi — ^"1-*. zP-"

Substituant ces valeurs dans (7) il viendra pour lasomme demandée ( r)

fififi^ ■ [(*+ 7W7 > +1 — O—(*-fmr)p]

-j- p.9,,r [(z-J-mr)/*—« — zP-’]

+ p(p-»)(p —a) ^ r , [(z+ „ jr)/ ,-3 _ 2 //-3]

I • J

fx — r) -\-f\x —2r) -|- etc.... jusqu a J(x —nir+r)

est, en faisant x — mr=z , et en prenant le dernier termepour le premier, la même chose que la suite croissante

/(2+'’)+/( z + 2r )+yî 3 +3/’) + etc.... jusqu’à/(z+mr).

Ainsi pour obtenir la somme des m premiers termes dela série croissante

0 O . r 5 [ (z+mr)P- 5 -Z/I- 5 ]

1 1.2. 3 . 4-5

+ etc.

17. Si l’on fait successivement dans (r) f* = i,/r = a,H = 3 , etc., cette expression fera connaître la sommedes m nombres en progression arithmétique,

z + (z+r) + (H" 2 '’) + ( z + 3 r) -f-.-f {z+mr—r)

fi +A z +r) -fy[z-f-2r) -f /z+ 3 r) -\-fz+^r) + etc.,

c’est-à-dire, des termes depuis fi jusqu’à f[z-\-mr — r)inclusivement, il suffit d’ajouter à l’expression (p) leterme_/i et de retrancher le terme Ai z ~\~ mr ) = f x »cette expression devient alors (<y)

dx-ffi.dz] + ,j[/ z -/ x ]

0* r 3 r cPfx'2 .3 [ dx*

dfi 1

dz J

dfi]

dz* J

-f- etc

i6. Appliquons cette dernière formule au cas remar-

ia somme des carrés de ces nombres, celle des cubes, etc.Dans le cas de p = 1 , (r) se réduit à

— [ (z-j-tfir) 1 — z*J -j- —[z—(z-j-m/) ] =

•2r a

2w^r.z-|-m*r , mr imrz-\-m'r' — mr*

ir 2 2 r

= i- m[iz-\-mr —r],

c’est-à-dire que la somme des termes d’une progressionarithmétique est égale à la moitié du produit du nom-bre des termes par la somme du premier et du derniertermes. Vérité connue d’ailleurs. ( Voy . Pbog. abith., 8-)Dans le cas de p. =2, on trouve, pour la somme descarrés do ces mêmes nombres, l’expression