so

m

6 [6Z1 + (ffi—i)6r.z + ( 2ffl —0 (»«■—i).r>]

Dans le cas de p = 3, on a pour la somme des cubes• [ ( z + mr )‘ • (z+mr—r)’—z. (z—/•)’ ]et ainsi des autres.

18. Faisons dans l'expression générale (r) z = o etr ~ i, elle nous donnera pour la somme des m pre-miers termes de la série des puissances

o*-J- it» -J- 2f* + 3 f* -f- 4 (* + etc.—i)f*

l’expression particulière

I • U

— .ttip-M— 9,. 7?7f* 4-C-. 9. .nrn—if*+1 1 i *

\-ét=-2)kp2l e K .m ,~3 '

1.2.3

96 .

' 1.2. 3 .4 .5

SO 504

I _, J_ , pS a .r , 9 r f 3

(p— i).zf*—».r*" 2 zf*" 3 ~ zfH-»"^ 1.2.3 ‘zfH-3

pfH-Ofc+sXft+SHft-M)

1.2.3.4.5 ■ ZP+ 5

valeurs que nous avons employées à l’article Facultés .

19. On peut appiiq uer i es formules générales à la sé-né réciproque des puissances

1 4- 1

" (-H* + (H^ + + ctc -

En faisant p négatif, on obtient pour la somme de cettesérie continuée à l’infini

+ etc.

La convergente de cette série sommatoire dépendantdu rapport de la différence r au premier terme z , onpourra la rendre aussi grande qu’on le voudra , en cal-culant à part la somme d’un certain nombre de termes

de la série proposée, par exemple , depuis — jusqu’à

ZH 1

, puis en appliquant la formule à la somme

jusqu’à l’infini. Faisant

(z-J -mr — rjt 1

des autres depuis ; — r .

1 (z-j-7/irJP-

z-j-mr = x , cette dernière somme sera (5),

_!_+ _L + £?£. + etc.

(p— l)XP— l.r 1 2.271* XH-+ 1

Proposons-nous, pour exemple, de trouver la valeurnumérique de la série réciproque des carrés

p(p-i)(p-i ){p— 3)(p— 4)(f*—5)Cf*—6) fl| mi< _ :

" r 1.2.3.4-5.6.7

-f- etc.

+ (—

dans laquelle le terme -f- ( —i)f*.9^4., résulte des con~stanles introduites par les intégrations. En désignantgénéralement par la somme des puissances p, on

trouve successivement

M(m) 0 = m

M(m), = i m' — 6, m

M(ni)> = ~ m 3 — 0 ,/m* -}- 29,m

M(777)j = -i 771 4 9 1 77t 3 -j- 39,T?» 1

et c. = etc.

;+;+j+^+

s + m + ett -

continuée à l’infini. Nous avons ici z = 1, r == 1, p=2.La somme des neuf premiers , termes est 1,5397671 j etcomme x = z -|- mr — 1 -f- 9 = 10, les termesde la série (s) deviendront

premier terme — 0,1000000second terme — o,oo5ooootroisième terme = 0,0001666quatrième terme = o,oooooo3

Ainsi on peut négliger les autres, si l’on ne demande pasplus de sept décimales. Ajoutant la somme o,io5i66gde ces quatre termes avec celle des neuf termes de lasérie, on aura définitivement 1,6449340 pour la sommede la série réciproque des carrés, continuée à l’infini.

20. On peut encore déduire de la formule (t-) l’ex-pression générale du logarithme naturel d’une facto-rielle quelconque a m l'', expression très-utile dans ungrand nombre de cas.

La factorielle a m \ r étant identique avec le produitn(a-j-r) (a+27-).... (a-\-mr —r)on a d’abord évidemment

Log (a m l r )= Loga + Log(a-j-r) -fLog(a-j-2r) -j- etc...

-f- Log(u-4-mr—r)