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mais on a aussi généralement, quelle que soit la quan-tité x ,
i
Logx = x (a: 00 — i)
{Voy. Logarithmes, 6) ; désignant donc, pour faciliterl’impression, par n la quantité infiniment petite , ce
qui rendra réciproquement x = ^, la somme des lo-garithmes prendra la forme
Log (a m !'”) =-j a n -}-(a-j-r)"-(-etc...—r) B —m j
Appliquant à cette suite la formule (r), en observantqu’on a généralement
z" =s i -f- n Logz ,
lorsque n ~, on trouvera pour les trois premierstermes de la série sommatoirc
— ni -f- i j^(a-f-mr).Log(a-|-mr)—aLogaJ
Quant aux termes suivans, si l’on désigne par la ca-ractérisque 4» la fonction de x donnée par la série (<ï,
<t>o- = fl x + 5 Six 3 + i 6ex s -f- - 4- etc.
o 5 7 1
T f*
leur somme totale sera exprimée par 4> —;-<p
1 a-f- mr a
Le logarithme demandé sera donc («)
Log (a™l' - ) = — [(a-\-mrïLog(a-\-mr) —«Logo]
-^(*=9
SO.
expression dont on peut tirer les moyens de calculerfacilement la valeur numérique de la fonction <j>r,quelle que soit la quantité/”. En f ffet, prenons à volontéle nombre m , il suffira de le supposer égal à 6 , 8 ou9 tout au plus j nous aurons (x)
* r =- ”*+~ ;] Lo s (, +'” r >+» 7^,7
— Log(i*l'-)
f*
et la fonction <!> -j-pq—, dont le développement pré-sente une série tellement convergente , que les deuxpremiers termes suffisent dans presque tous les cas pourdéterminer sa valeur, fera connaître celle de <br.
Cherchons pour exemple la valeur numérique de *1.Ayant ici r = i , prenons 7/1=9, nous aurons, àcause i 9 l' = 362880 = 720 X 5 o 4 ,
<M = _ 9 -f . Log 10-f 4>-^ — Log (362880).
La fonction 4> — est B.. — B,. —-1- etc... et
10 10 1 3 1000 1
comme B = —, et 9< =-—, il suffit de ces deux
12 120
premiers termes pour nous faire connaître
4>— = o,oo833o510 '
avec sept décimales exactes. Nous avons d’autre part s
Log 720 = 6,2225763Log 5o4 = 6,5792522
Log(i9l*)= 12,8018275
-J- 4>
a-\-mr
r
— 4> -•a
21. Si l’on fait a = 1, ce qui rend ces formules plussimples sans en diminuer la généralité, il vient (e)
-f*
i-+-/nr
■ *r
Log 10 = a,3025851— Log 10 = 21,8745584
ù l’aide de ces données on obtient définitivement4 >i = o,o 8 io 6 i 5 .
Prenons pour second exemple 4> Faisant le nombrearbitraire m = 6, la formule (v) donne
«.?=-6 +7 L» 8 5+^_ Log g.2.|.”.^
et l’on trouve en réalisant les calculs4>| = o,o538i4 1,22. Les formules (n) et (v) ont le grand avantage de