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faire obtenir avec facilité les valeurs numériques desfactorielles à exposaus fractionnaires, factorielles quipeuvent servir à donner la génération d’une foule dequantités transcendantes. Proposons-nous pour exem-ple la factorielle remarquable Nous avons ici a=i,
est toujours dans un rapport commensurable avec-a»
i, substituant dans (v) , il viendra
trouvé que la somme de toutes les séries continuées àl’infini et représentées sous la forme générale
, i , i , i , i i i , .
. I
— i , m = _; ainsi2
lorsque n est un nombre pair. Cette somme pour1
n — 2 , est....
--5 . w
1 . 2.3
Log — = o,4o5465i
0,0548141
' 22
0,4602792* i = o,o8io6i5
0,3792177
— = 0,5oooooo2
Log(i*^) = — 0,1207823
le nombre qui répond à ce logarithme étant 0,886227 ,bous en conclurons
il
0,886227
Ce nombre est la moitié de la racine carrée de 3,1415296,° u du nombre qui exprime le rapport du diamètre» lacirconférence. Nous avons démontré en effet que
, l v - a)* 1- '
n = 4,
n = 6..
n = 8..
n = 10..
n — 12 ..
n = 14..
n = 16..
n = 18..
n = 20..
n = 22..
n = 24- •
1.2.3.4-6 ' 3
1 .a.3.4*b.6.7 * 3 *
a 6
- 3 If*
1 .2.3....
...9*5
5 *«
1.2.3....
2 to
691
1.2.3....
,.i3 * io5*
2 U
I 1
..i5 * 35’*
1.2.3....
214 . 36r 7 -Jt . 6
1.2.3. . 17 i5
2,6 . _ 43867
1.2.3 . 19 ' 21
2* 8 1222217 la
1.2.3.21* 55 * *
2*» 8545i3
,l3ji
3i
a** 11818 20455 >4
i ,5 l‘ ' 273 ‘ K
{ v °y- Cercle, 33) ; or, en vertu du théorème ( voj.Factorielle, 2 )
a m V~ —i)r)'"l —r
on a évidemment
« = 26.. ’Êmm .
I*7|« I
La série très-irrégulière des coefficiens1 3 5 691
1 1 o o 091
1 ’ 3 1 3’ 5’ 3 ’ io5 ’
1 C * Ca" ~~ 1 ) 3*^ 1== O0^ * se représente dans d’autres circonstances. (Voy. Euler ,
Introd. analy. infinilorum.)
23. Euler a obtenu, pour 1 C3 séries réciproques des 24* La sommation des séries présente un grand nom-puissances des nombres naturels, des expressions siu- bre de particularités qui ne peuvent trouver placegulières dépendantes du nombre n = 3,1415926. Il a dans cet article ; nous devons nous borner maintenant