SP

Sphère , an astronomie, c’est cet orbe immense ouétendue concave qui entoure notre globe et auquel lesétoiles fixes semblent être attachées. Le diamètre de laterre est si petit quand on le compare au diamètre dela sphere céleste que le centre de cette sphère est par-tout où l’on se place. Dans tous les temps et dans tousles lieux, quelle que soit la position de la terre dansl'espace et celle des observateurs sur sa surface , on atoujours les mêmes apparences de la sphère, c’ent-a-dire que les étoiles fixes paraissent occuper le mêmepoint sur la surface de celte sphère. Notre manière dejuger de la situation des astres est de concevoir desligues droites tirées de l'oeil ou du centre de la terreau centre de l'astre, et qui continuent jusqu’à cequ’ellescoupent cette sphère ; les points où les lignes se termi-n ent sont les lieux apparens de ces astres. Pour déter-miner ces lieux, on a imaginé différeus cercles fixes aux-quels on les rapporte. ( V oy . Armillaire.)

SPHÉRIQUE. (Géom. et asl.) Se dit en général detout ce qui a rapport à la sphère. Un triangle sphériqueest une partie de la surface d’une sphère comprise entretrois arcs de grands cercles de la sphère qui se coupentdeux à deux. Les propriétés de ces triangles sont l’ob-jet de la trigonométrie sphérique . [Voy. Trigono-métrie.)

SPHÉROÏDE. [Géom.) Solide engendré par la ré-volution d’une courbe ovale autour de son axe. Si l’o-vale est régulière , ou si c’est une ellipse, le sphéroïdese nomme aussi ellipsoïde.

O.i nomme sphéroïde allongé celui qui est engendréPar la révolution de l’ovale autour de son grand axe,et sphéroïde aplati celui qui est produit par la révo-lution autour du petit axe. La figure de la terre paraitêtre celle d’un sphéroïde aplati. (U oy. Terre. 1

Quand on a l’équation de l’ovale génératrice, onpeut aisément obtenir la surface et le volume du sphé-roïde par les méthodes exposées aux mots Cubature etQuadrature.

SPIRALE. ( Géom.) Ligne courbe d’une espèce cir-culaire qui s’éloigne de plus en plus d’un point, quel’on nomme son centre, tout en tournantautour de lui.

On distingue diverses espèces de spirales, parmi les-quelles la plus célèbre est celle de Conon ; elle est par-ticulièiement connue sous le nom 6e spirale d’Archi-mède , parce que ce grand géomètre découvrit le pre-miet ses piopiietés. Nous allons exposer la construc-tion de quelques-unes de ces courbes.

Spirale d Arciiimede. Imaginons que lerayon AC ducercle C (PI. 5 ^, fig. ta) se meut uniformément autourdu centre de manière que son extrémité A décrit lacirconférence dans le même temps qu’un point, parti

SP 5H

du centre, parcourt d’un mouvement uniforme lerayon AC ; le mouvement de ce point, en considérantsa trace sur le plan du cercle , engendrera une combeCmm’m"m"'A qui est la spirale d.'Archimède .

Après une première révolution du rayon CA, onpeut en imaginer une seconde pendant laquelle lepoint continue à se mouvoir sur son prolongement, demanière à parcourir une longueur égale à AC pendantcette révolution ; et après cette seconde, une troisième,puis une quatrième et ainsi de suite, ce qui donne lemoyen de prolonger la spirale à l’infini.

Pour décrire cette courbe par points, on divisera lacirconféicnce du ccrclecn parties égales, en io par exem-ple, puis on divisera le rayon AB en io parties égale : ,et ayant mené par chacun des points de division p, p',p” etc., de la circonférence les rayons cp, cp r , cp" etc.,on portera sur le premier rayon Cp, de C en rn , unedes io parties du rayon AC; sur le second rayon Cp',on prendra Cm' égal à a dixièmes du rayon ; sur letroisième rayon Cp", on prendra Cm" égal aux 3 dixiè-mes du rayon, et ainsi de suite.Les points m, m', m", etc.appartiendront à la spirale.

D’après la construction de cette courbe, le rapportentre unqtielcoriquede ses rayons vecteurs Cz et le rayonAC du cercle est le même que celui de l’arc correspon-dant hp’x à la circonférence entière; ainsi désignantpar a le rayon vecteur, par r celui du cercle, par c sacirconférence et par v l’arc Ap'x, on aura

z : r : : v : c

d’où

TV

C

Telle est l’équation de la spirale d’Archimède . En ob-

servant que — est une quantité constante égalé a —,c air

ir exprimant le nombre 3,141591.6 etc., on peut don-ner à cette équation la formule pins simple z = m>, en

se rappelant que a=^~.

La rectification de cette courbe ne peut être obte-nue que par approximation, car en substituant dansl’expression

ds = \Zldz 1 -j- a’.tA»*],

de laquelle dépend la rectification des courbes expri-mées en coordonnées polaires ( voy. Rectification, 6),les valeurs de a 1 et de dz‘ tiiées de z = av, ou trouve

ds = y/[ a'dv* a’v’Ju’]

= adv .\/[1 -j- u’]

expression qui ne peut s’intégrer que par les séries ou