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les logarithmes, et qui dépend évidemment de la recti-fication de la parabole. [Voy. Rectif. , 4 1 -)

La quadratui e de la spirale dépend de celle ducercle et ne peut être obtenue aussi que par approxima-tion, mais elle présente une particularité remarquableque nous devons signaler. Substituant dans l’expressiongénérale

S

1

2

z'dv

de la quadrature des couibes rapportées à des coordon-nées polaires la valeur de dv prise dans l’équationz = av, il vient

i _ .

= H- consto

tCv'dv

Eu prenant l’aire à partir de l’origine et remplaçant a x

par sa valeur —— on a donc pour l’aire de la spiralel\1Z %

comprise entre la courbe et le rayon vecteur corres-pondant à l’arc v, l’expression

S =

Si l’on prend pour unité le rayon r du cercle, sa cir-conférence c sera exprimée par 27 r, et si alors on faitl’arc v égal à 27 t, on aura pour l’expression delà surface

entière Cmm'ni'nfnfzk, S= Or, dans ce cas,

comme il s’agit d’unités carrées, n représente la sur-face du cercle; ainsi la surface de la spirale est le tiersde celle du cercle.

Il s’agit simplement ici de la spirale de la premièrerévolution ou, comme on la nomme, de la premièrespire. Pour les autres spires, il faut remarquer qu’àchaque nouvelle révolution du rayon du cercle il re-passe sur les aires tracées par les révolutions précé-dentes, de sorte que ces aires s’ajoutent les unes auxautres ; ainsi, si l’on demandait l’aire qui se ter-mine à la rn ième révolution, il ne faudrait pas prendrel’intégrale depuis v — o jusqu’à v = 27 r, mais bien de-puis v= (m—i). 27 r jusqu’à v = m.iv. On trouve decette manière

m désignant le nombre des spires. Ainsi , on a pour 2spires, S = p 0ul . 3 f == »r ; jour 4,

c Jy

c> — j tr; de. En comparant chacune de ces aires avec

celle du cercle circonscrit correspondant qui est suc-cessivement n, 4^, 97r, i6n- etc., on voit que l’aire deseconde révolution est au cercle circonscrit comme7 : 1 3 , que celle de troisième révolution est au cerclecirconscrit comme 19 : 27, etc. Rapports trouvés parArchimède à l’aide de constructions géométriques sicompliquées que Viètc a mis en doute leur exactitude,et que Bouillaud a avoué ingénument qu’il ne les avaitjamais bien comprises. Si l’on prend la différence entrel’aire de deux révolutions et l’aire d’une seule révolu-tion, on obtient pour l’aire de la seconde spire consi-dérée isolément 27 r; et en opérant de la même manière,on trouve que les aires des troisième, quatrième, etc.,spires sont respectivement 4’ r , Ctt, 877, etc.; d’où ré-sulte, en général, que l’aire de la m ième spire, c’est-à-dire, l’aire comprise entre la surface de la (m —1) révo-lution et la m ième révolution, est égale à ( m —1) foisl’aire de la seconde spire. Propriété trouvée encore parArchimède .

Spirale logarithmique ou logistique. Elle diffèrede la spirale d’Archimède en ce que ses rayons vecteursC/71, Cm', Cm", etc., au lieu de croître en progressionarithmétique, croissent en progression géométrique.

Smrale parabolique ou helicoïde. Si l’on imagineque l’axe d’une parabole commune ou apollonienneest roulée sur la circonférence d’un cercle (PI. 24, fig. 7)7l’origine étant au point B, toutes les ordonnées de laparabole Cm, Dn, Eo, etc., concourront vers le centre Aet la courbe B//7/1FA qui passe par les extrémités de cesordonnées sera Yhëlico'ide.

En désignant par z un rayon vecteur km, par v l’arcde cercle correspondant BC, et par p le paramètre dela parabole , la nature de cette courbe sera expriméepar l’équation z* = pv.

Spirale de Pappus. Courbe formée sur la surfacede la sphère de la même manière que celle d’Archi-mède est engendrée sur un plan ; c’est-à-dire qu’unquart de grand cercle est supposé tourner uniformé-ment autour de son rayon, tandis qu’un point le par-court uniformément et décrit une ligne courbe sur lasurface de la sphère. Cette spirale est évidemment unecourbe à double courbure.

On a considéré encore une foule d’autres spiralespour lesquelles nous devons renvoyer à Y Histoire del’Acad, des sciences , 1704.

SPIR 1 QUES. (Ge'om.) Les lignes spiriques sont descourbes inventées par Pcrscus, et qui résultent de lasection , faite par un plan, du solide engendré par la ré-volution d’un cercle autour d’une de ses cordes, oud’une de ses tangentes, ou même de quelque ligne exté-