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AG = cos x, CG = sia x, et, déplus, AB est lerayon du cercle que nous représenterons par r, la pro-portion précédente est donc la même chose que

d’où (a)

r ; tangx : : cosx : siux

tang x =

/-.sin xcos x

En prenant le rayon du cercle pour unité, ou a simple-

. . sin x

ment tang x = -.

° cos x

Les triangles semblables AEF, AllC fourniraient dela même manière

cot x =

r.cosxsi nx

Comparant ces expressions de la tangente et de la cotan-gente d’un même arc, on en tire la relation générale

tangx. cotr = r J

Toutes les propriétés des tangentes dépendant de cel-les des sinus, nous renverrons au mot sinus pour la théo-rie de ces lignes.

Méthode des tangentes. C’est la méthode de menerdes taugeutes aux courbes, ou de déterminer la gran-deur de la tangente et de la soutangente, lorsque l'équa-tion de la courbe est donnée. De toutes ses découvertesen géométrie, celle que Descartes estimait le plus est lar ègle générale qu’il a donnée pour la détermination desringeutes des courbes. « C’est ici, dit-il, le problème lepins utile et le plus général, non seulement que jesache,mais même que j'aie jamais désiré de savoir en géomé-trie. » Ce problème sert en effet aux déterminations lesplus importantes de la théorie des courbes , et la solu-tion de Desi ai tes, quoique remplacée aujourd’hui par-les méthodes plus promptes et plus commodes fourniespar le calcul différentiel, n’en doit pas moins marquerdans 1 histoire de la science comme une invention très-ingénieuse , et d’ailleurs comme la première de cegenre.

La méthode de Descartes repose sur le principe sui-vant soit AEN (pl. 58, fig, i) une branche de courbei nppoi tée à 1 axe AM. D'un point C de l’axe soit décritun ceicle qui coupe la courbe au moins eu deux points,B et b, desquels les ordonnées communes à la courbe etau cercle seioiitB.Pet bp. Imaginons maintenant que lerayon de ce cercle décroît, sou centre restant immobile;il est évident que les deux points B et A se rapproche-ront et fiuiront par se confondre en E, lorsque le cerclene fera plus que toucher la courbe à ce point. Alors lerayon CE mené au point de contact E, scia eu meme

temps normale à la droite qui serait tangente au cercleet à la courbe à ce même point E. Ainsi le problème dedéterminer la tangente d’une courbe se trouve ramenéà celui de trouver la position de la normale qu’on luitirerait d’un point quelconque pris sur l’axe. Pour ré-soudre ce dernier, Descartes recherche d’une manièregénérale quels seraient les points d’intersection de lacourbe avec un cercle décrit d’un rayon déterminé, etd’un point de l’axe comme centre. Il parvient à uneéquation qui, dans le cas de deux intersections, doitcontenir deux racines inégales qui expriment les dis-tances des ordonnées de ces intersections au sommet dela courbe. Mais si ces points d’intersection viennent à seconfondre, alors les deux ordonnées se confondant, leursdistances deviennent la même, et l’équation doit avoirdeux racines égales. Il faut donc déterminer les coeffi-ciens de l’équation, de manière à ce qu’elle ait deux ra-cines égales, et c’est à quoi Descartes parvient en com-parant l’équation proposée avec une autre équation fic-tive du même degré, où il y a deux valeurs égales ; cequi lui donne la distance au sommet de l’ordonnée abais-sée du point de contact. Ceci une fuis déterminé, le restes’en déduit sans difficulté, comme nous allons le montrerpar un exemple.

Soit ABEN une parabole; désignant AC par a, APpar x , et le rayon CB du cercle par r, nous aurons CP= a — x. Or, puisque l’ordonnée BP = y, appartienten même temps au cercle et à la parabole, on aura dansle cercle

y 1 — r' — CP = r* — (a — x)*et dans la parabole

y' — px

p désignant le paramètre de cette dernière courbe. On adonc aussi

r 2 — (a — x) 1 = px

d’où, eu ordonnant par rapport à x, oa tire l’équa-tion

x‘ — (‘la — p)x + a* — r 1 = o

Cette équation, étant du second degré, admet deux va-leurs pour x, qui correspondent aux distances AP et A p ;car nous aurions trouve absolument la même chose eupartant de l’autre intersection et en prenant l’ordouneebp. Il s’agit maintenant de déterminer le rapport desgraudeursa, p, r, de manière à ce que BP se confondeavec bp, et que le cercle touche la parabole en dedans.Pour cet effet, formons une équation fictive du seconddegré, dont les deux racines soient égales entre elles, cequise réduit à développer la puissance^— nif = o,car l'équation qui eu résulte x> — -xmx -f ni' = o a

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TOME II.