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évidemment ses deux racines égaies à ni. Mais en com-parant avec la précédente, on voit que celle-ci ne peutavoir ses deux racines égales, à moins qu’on n’ait les re-lations 27» =2 a — p, et m‘ = a? — r’. La premièrecondition nous donne, à cause de x = m,

ix = ia — p, d’où p = aa — ix, et a — x = £ p.

Or, par l’égalité des racines, x est devenu AQ, et con-séquemment a — x — AC — AQ = CQ. Ainsi, dans laparabole, CQ, ou la sounormale, est égale à la moitié duparamètre. La valeur de la sounormale étant une foisconnue, on en tire aisément celle de la soutangente, ainsique les valeurs de la normale et de la tangente. Quelleque soit la courbe proposée, on parviendra toujours ,par ce pnocédé, à l’expression de la sounormale.

Outre cette méthode des tangentes qu’il a exposéedans sa Géométrie , Descartes en donne une autre , danssa correspondance, dont les principes sont peu différens.Il conçoit une ligne droite qui tourne autour d’un cen-tre sur l’axe prolongé de la courbe. Elle la coupe d’aborden un certain nombre de points ; mais à mesure qu’elles’éloigne ou se rapproche de l’axe suivant les circon-stances, les points d’intersection se rapprochent et coïn-cident j enfin elle touche la courbe proposée. Pour dé-terminer la situation qu’a la courbe dans ce dernier cas,Descartes procède à peu près comme dans sa premièreméthode. 11 recherche d’abord l’équation générale, parlaquelle cette ligne étant inclinée sous un angle donneavec l’axe, on trouverait ses points d’intersection avecla courbe. Ensuite, par le moyeu d’une équation fictivequi a deux racines égales, il détermine cette inclinaisonà être celle qu’il faut pour que la ligne soit tangente.Enfin il tire de là l’expression de la soutangente.

Une autre méthode des tangentes, non moins célèbreque celle de DeScartes, est la méthode de Fermât , danslaquelle on a prétendu trouver l’origine du calcul diffé-rentiel. Voici le principe sur lequel elle est fondée.

Si la ligue BD (PI. 58 , fig. 2) est tangente à une courbaAbBb, il est évident que toute autre ordonnée que BC,comme ôcpar exemple, la rencontrera hors de la courbe

- * ~ *

en un point e. Ainsi le rapport de BC à ce, qui est le

Les méthodes de Descartes et de Fermât reçurent suc-cessivement divers perfectionnemens par les travaux deSluze,Hudde , Huygens, etc., que nous ne pouvons expo-ser ici. Cependant nous croyons devoir dire encore unmot sur la méthode des tangentes , de Barrow, dont l’a-nalogie avec la méthode que l’on tire du calcul différentiel est beaucoup plus frappante que celle qu’on a pré-tendu reconnaître entre cette méthode et la méthode deFermât. Barrow considère le triangle différentiel QQ'7/1(PI. 57 , fig. 17 ) formé par la différence 77iQ' des deuxordonnées infiniment proches PQ et PQ', leur distanceQ/?t et le côté infiniment petit QQ' de la courbe. Cetriangle est semblable au triangle TPQ formé par l’or-donnée, la tangente et la soutangente. Il cherche donc,pour l’équation de la courbe, le rapport qu’ont ensembleces deux côtés Q/n et Q'/», ce qui lui fournit une équa-tion de laquelle il tire le rapport de la soutangente àl’ordonnée, en négligeant les quantités infiniment pe-tites.

Un exemple va faire comprendre ce procédé. Soit lacourbe proposée une parabole dont l’équation est^y’ =px ; désignons, comme Barrow, par e l’accroissementQ7», ou PP' de l’abscisse AP == x , et par a l’accroisse-ment correspondant Q'771 de l’ordonnée PQ = y. Or, ydevenant^ -|- a, et x devenant x -j- e, l’équation de laparabole donne

y‘+2ay + a’= px +pe

Retranchant de cette dernière les termes èganixy i =px,il vient

2 ay + a' ~ pe ;

a étant infiniment petit, son carré a* peut être entière-ment négligé, et il en résulte simplement

v e W■iay = pe, d ou - = ~

Mais le rapport des quantités «etc est le même que ce-lui de l’ordonnée .y ou BP à la soutangente TP, donc

TP _ 2 y

y ~~ V

même que celui de DC à De, sera plus petit que celui

de BC à Pc, ou que celui de AC à A c, en prenant uneparabole pour exemple ; mais si l’on suppose que ce rap-port soit le même, et que la distance Ce s’anéantisse, lespoints fc et B se confondront, et l’on aura une équationqui, traitée de la même manière que dans la méthode desmaximis et minimis, donnera le rapport de CD à CA, oude la soutangente à l’abscisse. Fermât, comme on le voit,faisait dépendre sa méthode des tangentes de sa méthodedes maximis.

ainsi

ay*

soutangente — -

ipx

P

%x

c’est-à-dire que dans la parabole, la soutangente est égaleau double de l’abscisse.

Cette règle ne diffère évidemment de celle du calculdifférentiel que par la notation, car elle est représentée,en dernière analyse, par la formule

y.e

soutangente =