TA

ce qui est identique avec la formule différentielle

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soutangente =

y-àx

dy

11 existe aussi une grande ressemblance entre la manièredont on prend la différentielle d’une quantité, et cellequ’emploie Barrow pour trouver le rapport des lettrese > «, et l’on ne peut s’empêcher de reconnaître qu’il atouché de très-près au calcul différentiel. Mais la na-ture des idées qui ont conduit Leibnitz et Newton à ladécouverte de ce calcul, ne permet pas de supposer qu’ilsaient rien emprunté de Barrow.

Le problème des tangentes, considéré dans toute sagénéralité, dépend de l’expression (a)

soutangente =

dy

(

‘'oy. soutangente). Caren substituant dans cette cxpres-

d:t

sion la valeur du rapport tiré de l’équation de lac ouibe, on obtient dans tous les cas la valeur de la sou-

tangentc. La grandeur de la tangente, comprise entre lepoint de contact et celui où elle coupe l’axe des x , estdonnée par la formule (b)

dx*

dy ’

ce dont on peut s’assurer facilement en remarquant(PI. 57 , fig. n) qne la soutangente TP, l’ordonnée CPet la tangente TC forment un triangle rectangle-

Nous allons donner quelques applications de ces for-mules.

1 • L’expression (a) se rapporte à des coordonnées xcAyrectangulaires, et il faut lui faire subir une modificationpour la rendre applicable aux courbes exprimées encoordonnées obliques ou polaires, si l’on ne veut trans-former ces dernières coordonnées. Le cas des coordon-nées obliques ne présentant aucune difficulté, nous nouscontenterons d’examiner ici celui des coordonnées po-laires.

Soit MN (PL 58, fîg. 4) une branche de courbe dontle pôle est en A, désignons par s un rayon vecteur quel-conque, AO, et par v l’arc ZQ qui mesure la distance an-gulaire de ce rayon vecteur à l’axe fixe AZ. Prenonsmaintenant une droite quelconque AXpour axe des ab-scisses rectangulaires, et abaissons du point O, OP per-pendiculaire à cet axe; le pôle étant pris pour origine,AP sera l’abscisse, et PO l’ordonnée du point O, nousdésignerons ces droites à l’ordinaire par x et y. Dési-gnons de plus par m l’arc Z n qui mesure la distance an-gulaire de l’axe polaire AZ à l’axe des abscisses AX, et

tangente

-Vf

I +

TA

alors l’arc nQ, qui mesure l’angle PAO, sera représentépar v — m. Ceci posé, le triangle rectangle APO nousfournit les deux relations ( voy . Trigonométrie)

1 : sin(v — m : : AO : OP : : s : y1 : cos(v — m) : : AO : A p : : z : x

d’où .

x — z. cos (v — m , y — z. sin (y— m)

Différentiautces deux expressions, et substituant dans (a)à la place d ey, dx et dy les valeurs qui en résultent, nousobtiendrons, pour l’expression générale delà soutangentePT, l’expression (c)

. , , dz.coslv — ni) — z.dv.shdv —

soutangente=z i m(v-m).

2 . En observant que la soutangente PT est comptéeici sur une droite AX dont la position est entièrementarbitraire, on pourra simplifier considérablement cetteexpression en déterminant la position de cette droite, demanière qu’elle soit, dans tous les cas, perpendiculaire aurayon vecteur du point de la courbe que l’on considère.En effet, si l’arc nQ = v — m devient un quart de cir-conférence, on a d’abord sin ( v — m) = x, cos (v — ni)= o ; de plus, l’ordonnée PO se confond avec le rayonvecteur AO, et la soutangente PT devient AT'. On adonc simplement dans ce cas, en ne tenant pas compte dusigne, (d)

z* .dv

soutangente =

Pour construire la tangente d’une courbe polaire à l’aidede cette expression, on mènera par le pôle une droiteAT' perpendiculaire au rayon vecteur, puis on porterasur cette droite de A en T' la valeur de la soutangentedonnée parla formule, et la droite menée par les pointsT' et O sera la tangente demandée. Quant à la grandeurde cette taogente, on a évidemment

©T' = \/[ÂO + AT']

ou (e)

tangente = z. [ 1 -f

hes signes dont les valeurs de la tangente et de la sou-tangente peuvent être affectées indiquent la position deces lignes à la droite ou la gauche de Vorigine.

3. Proposons-nous, pour exemple, de déterminerl’expression de la soutangente dans la spirale d’Archi-mède . L’équation de cette courbe étant (voy. Spirale) ,

v

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