52 ;

on cil tire

TA

TA

21T

ce qui donne, en substituant cette expression de dzdans (d) ,

1 : tangT : : TP : CP

tang. désignant la tangente trigonornélrique del’angle T.Cette proportion donne

tang T :

CP

TP

soutangente = z 1 . .

ou , encore,

et, co'mine

CP

TP

Cm dy

Cm dx

il en résulte qu’on a

v

soutangente = —.

Il résulte decette dernicreexpression que lorsquei'=ar,c’est-à-dire, lorsque le point dont on demande la tan-gente est le dernier de la première spire, la soutangenteest égale à iv ou à la circonférence rectifiée du cerclecirconscrit. Après un nombre de révolutions exprimépar m , l’arc v est ‘imn , et la soutangente devientawV , c’est-à-dire m fois la circonférence inix, ou mfois la circonférence dont le rayon est m. Comme nousavons pris pour unité le rayon du cercle circonscrit à lapremière spire, imn exprime la circoufcrence du cer-cle circonscrit à la m iin,e spire. Ainsi la soutangentedu dernier point de la nV‘ me spire est égale à m foisla circonférence du cercle qui embrasse les m spires.Cette belle propriété avait été découverte par Archi-mède .

4 . La considération de l’angle que fait la tangenteavec l’axe des abscisses, conduit à plusieurs particula-rités importantes que nous devons signaler ; mais re-marquons, auparavant, que la définition vulgaire dela tangente, savoir : une droite qui touche une courbeen un point sans la couper, n’est exacte que pour lescourbes du second degré , car dans toutes les courbesqui de concaves deviennent convexes, telle par exem-ple que la courbe MN (PI. 5 q, fig. 19), la tangente d’unpoint A peut très-bien couper la courbe en un point Bet encore en d’autres points. La tangente doit donc êtresimplement définie: le prolongement de l'élément dela courbe , car en considérant le point de contactcomme unte ligne droite infiniment petite ou commel 'élément de la courbe, la tangente est en effet la droitequi coïncide avec cet élément. C’est pourquoi l’angleque fait avec la tangente une droite menée au pointde contact est pris pour l’angle de cette droite avec lacourbe, et que l’on dit indifféremment que la normalec*t perpendiculaire à la tangente ou qu’elle est perpen-diculaire à la courbe.

Dans le triangle rectangle CTP (PI. 57, fig. 11)formé par la tangente CT , la soutangente TP et l’or--douuée CP , l’angle T de la tangente avec l’axe peuttoujours être obtenu à l’aide des relations qui existeentre les eêtés. On a d’abord

généralement pour l’expression delà tangente trigono-métrique de l’angle fait par la tangente d’une courbeavec l’axe des x

tan e T =^’

expression qui pour toutes les valeurs de x ou de jfaitconnaître l’angle T.

5 . Parmi les diverses valeurs que peut admettrel’angle T, les plus remarquables sont celles qui répon-dent aux cas où la tangente est perpendiculaire ou pa-rallèle à l’axe des abscisses. Dans le premier, l’angle Tétant droit sa tangente trigonornélrique est infiniment

d Y

grande (wyr. Sinus) , et l’on a — co, d’où dx = o;

dans le second , l’angle T est nul et sa tangente trigo-

dy

nométrique est zéro ; on a donc alors= o , d’où

dy — o.

Ainsi, pour déterminer le point d’une courbe danslequel la tangente est perpendiculaire à l’axe des x , ilfaut tirer de son équation la valeur de dx et l’égaler àzéro , ce qui fournira une équation qui fera connaîtrel’abscisse ou l’ordonnée de ce point. En égalant de lamême manière à zéro la valeur de dy tirée de l’équa-tion de la courbe , on déterminera les coordonnéesdu point où la tangente est parallèle à l’axe. Prenonspour exemple le cercle dont l’équation rapportée à l’ex-tréinité d’un diamètre est

y 1 = irx — X'.

On tire successivement de cette équation

, r — x , , y<ly

dy = - . dx , dx — -

y r ~x

la première égalité donne ■■ - dx = o , ou r — x = o,

d’où a: = r; or, à la valeur de x = r correspondentdeux valeurs de y, savoir : y — r et y = — r, ainsidans les deux points du cercle dont les ordonnées pas-sent par le centre, la tangente est parallèle à l’axe , cequi est d’ailleurs évident. La seconde égalité donne

— o ou y = o ; et comme à cette valeur de yr—x ^