TÀ

TA.

525

correspondent deux valeurs de x , savoir : x = o etx — ir, il en résulte qu'aux deux points où ces valcuisont lieu la tangente est perpendiculaire a 1 axe. Cespoints sont l'origine et l’autre extrémité du diamètre.

6. En applicruant ces considérations à la parabole co-nique , on tire de son équation ,y‘ = V x > ^ es va ^ eurs

dy = ^ , Ax =V

iydy

P

ce qui donne, d’une part, p = o et, de l’autre ,y=o.3îais ] a valeur p = o qui résulte de l’hypothèse Ay = oest absurde , puisque le paramètre p n’est point unequantité variable , ainsi on ne peut supposer dy = o ,et il n’existe conséquemment aucun point de la courbedont la tangente soit parallèle à l’axe. La seconde va-leur^- — 0 uous apprend que la tangente du sommetde la parabole est perpendiculaire à l’axe.

1- L’équation générale d’une ligne droite étant (voy.Application, ii, 6),

y = ax -J- b

Si nous voulons lui faire exprimer la condition que ladroite louche une courbe quelconque en un point dont•es coordonnées sont x', y', il faudra remarquer qu’à cePoint cette équation devient

/ = a'x + b ,

L ‘L en outre, que la tangente trigonométrique a doit^ tre égale à pour que la droite soit tangente. Lesconditions du contact sont donc

Ay'

y’ — ax + b, a =

ou en déduit (/)

y—y

Telle est l 'équation de la tangente.

On tire immédiatement de l’expression (f) li</" nlion de la normale , car cette dernière ligne étant peipendiculaire à la tangente au point x'y' sou équationest (voy . Appl. Il, i5) , (g) ,

, Ax' , p,

y-y

L’emploi des équations ( et (g) est souvent pluscommode que celui des expressions qu’on pent tirer desformules générales (a)et (b) ci-dessus, et des formulesde l’article Sounormale. En y faisant y = o , pour

déterminer l’intersection des droites avec l’axe des x ,on obtient pour la tangente

x — x'

y'Ax^

Ay'

et pour la normale,

,_ v — yw

X X — dx'

Or, pour interpréter ces résultats, remarquons, dans lafigure ii, P). 57, que l’abscisse a:, de la tangente, aupoint d’intersection T est AT, quantité qui doit êtreprise négativement , parce qu’elle est à la droite del’origine A, tandis que l’abscisse x' du point de contactC est AP j ainsi x — x' — — AT — AP = — PT, d’où

PT ou soutangenle =

y'Ax

Ay'

Quant à la normale, l’abscisse ce de son point d’intersec-tion avec l’axe est ici AD , tandis que l’abscisse x' dupoint de contact est toujours AP, nous avons doncx — x' = AD — AP = PD, d’où

y’A v'

PD ou sounormale =

dx

Ces expressions de la soutangente et de la sounormalesont identiques avec celles que nous avons précédemmenttrouvées.

8. Les équations (f) et (g) sont particulièrement utilesdans les cas où l’on peut se proposer, soit de mener unetangente à une courbe d’un point donné hors de lacourbe, soit de mener une tangente assujétie à certai-nes conditions, comme d’étre parallèle à une droitedonnée de position , ou de faire un angle donné avecl’axe des x, etc. , etc. En général, toutes les fois qu’ils’agit de déterminer le point de contact et non de par-tir de ce point, l’emploi des équations est plus direct etplus élégant que celui des expressions de la soutangenteet de la sounormale. Nous avons montré ailleurs com-ment on tire de ces équations le moyen de déterminerles asymptotes des courbes. {Voy. Asympttôes.)

Metiiode inverse des tangentes. On désigne sousce nom la méthode de trouver la nature ou l’équationd’une courbe par quelqu’une de ses propriétés, commepar le moyen de sa soutangente, ou de sa tangente, oude sa normale, etc. La première question dccegenrefut proposée par Beaune , l’ami et le commentateur deDescartes. Comme sa solution dépend généralement del’intégration d’une équation différentielle du premierordre, les premiers géomètres qui se sont occupés deces équations avaient appelé méthode inverse des tan-gentes , la partie du calcul intégral dont elles sont