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l’objet } mais cette dénomination vicieuse u est plusen usage. Nous allons développer, dans quelques exem-ples, les artifices de calcula l’aide desquels on peutremonter à l’équation d’une courbe quand on connaîtseulement une de ses propriétés caractéristiques.

2. Trouver Véquation de la courbe dont la soulangente

oy 1

est — --a

. ydx

L expression générale de la soutaugente étant ,posant l’équation.

a dy 1

nous en tirerons

et, en intégrant,

lydy — adx

y = ax,

équation d’une parabole dont le paramètre esta.

2. Trouver la courbe dans laquelle la sounormale estune quantité constante égale a ni.

ydy

L’expression géuérale de la sounormale étant

posons

ydy

ni = —— ,elx

Nous en tirerons mdx = ydy, et, en intégrant, nix— ou 7 ' — 2 m x . La courbe est donc encore uneparabole dont le paramètre est 2m.

3 . Trouver la courbe dont la normale est constanteet égale h n.

En égalant n à l’expression générale de la normale[voy. Sounormale) , on a

n =r\/[' + îï\

équation dont on tire

dx =

VW-y']

La condition demandée étant exprimée par

ydy

dx ~ x — a ‘i

nous en tirerons

ydy = adx -f- xdx ,

et, en intégrant,

iy*= ax-j-ïx *,

y ’ 1 = 2 ax + x‘,

équation d’une hyperbole équilatère rapportée au som-met et dont l’axe = ia.

5 . Etant donné une infinité de paraboles coniques :AM , A m , etc. qui ont toutes leur sommet au point A ,(PI. 57, fig. 18) mais dont les paramètres sont différens,trouver une courbe ON qui les coupe toutes perpendi-culairement.

Menons une tangente TO à la parabole AM, au pointd’intersection O, et de ce môme point une tangente OQà la courbe demandée. D’après la nature du problème,QO sera normale à la parabole AM , et la soulangenteTP de la parabole sera en même temps sounormale dela courbe cherchée. Or la soulangente d’une paraboleest égale au double de l’abscisse, ainsi il ne s’agit plusque de déterminer la courbe ON dont la sounormalesoit égale à ix. Mais TP étant pris en sens inverse dePQ, nous ferons ix négatif et nous poserons

_ydy

d’où

— ix = —,

ax

ydy -|- ’ixdx o.

Intégrant, nous aurons

y »

-1 -x* = c

2 1 «

c désignant une constante arbitraire.Cette expression mise sous la forme (h)

y = î(c-x’).

X — fydy(n*—y') “ = («'— y 1 )*ou, définitivement,

y 1 = n* — x* ,

équation d’un cercle dont le rayon = n.

4 * Trouver la courbe dans laquelle la différencee la sounormale et Cabscisse est constante et = a.

nous montre que la courbe cherchée est une ellipsedont c est le carré de la moitié de l'axe des x, et dont lecarré de la moitié de l’autre axe est double de c. Nousn’avons considéré qu’une seule des paraboles, mais ilest évident que la courbe de l’équation (h) les coupetoutes de la môme manièic.

6. Trouver la courbe dont la tangente est constanteet = a.

La valeur générale de la tangente étant

en-