TH
Fx = A + * x $
et en désignant par yx la fonction arbitraire qui doitservir de mesurek l’évaluation proposée de la fonctionF-ï, on reconnaît que la transformation en question estopérée par les deux algorithmes techniques primitifsconnus sous les noms d eséries et de fractions continues.La déduction de ces algorithmes techniques ayant étédouuée (Math. , 17 et 18), nous rappellerons seulement'ci leurs lois générales, du moins dans le cas , en quel-que sorte primitif, où l’on conserve la même mesureyx a chaque transformation particulière.
3. Construisons avec les différentielles des divers or-dres de la fonction proposée Fx et de sa mesure <fX,les quantités
A 0 = Fx
^ _ ty[Fx ] _ dFx
1 , </<px chfjc
^ _ ty\d'<fx .rf’Fx]
1 .( 1 . 2 ). (chf'xÿ
* T£l[d'ifX. d’yx*. Fx]
’ ~ I.(l.2).(l.2.3).(f/yxl 6
. ffl[(l'tfx .d’yx* .d 3 fx 3 .rf*Fx]
A i(i.2).(i.2.3).(i.2.3.4).(filfx) ,#
etc. = etc.et > en général,
A _ \£f[d’yx .d’yx*. . . . iù*—'yxl* -1 • d/*Fx|
** 1*11*-1-0
(t. i'I». 1 31*. l4!>-if*!‘).((/<j>x) 3 '
dans lesquelles le point placé sur la variable x indiquequ’il faut donner à cette variable, après les différen-ciions, la valeur qui rend ?r = o. Quant aux fonc-ions désignées par la caractéristique , nous avonsexpliqué leur construction au mol Série, 8.
A- l’aide de ces quantités, la génération de la fonc-tion Fx eu série est
F* = A 0 -j-A,,yx -j- A > .yx’-f- A3.yx 3 -J- Ai.fX 4 -f etc.
quelle que soit la fonction arbitraire cpx.
4-Avec les quantités A», A,, A,, etc., dont nous'tuons de donucr la construction , construisons mainte-nant de nouvelles quantités
1
<
II
e
A,.Aj
K
II
1
a..a 4
b 5 = \ r \ k —
A,. A,
Bjt= A,.A(j— 1 —
A,* Au,
TOVE ti.
TH 54o
c. =
B..A, —
A..B*
c 5 =
B 3 .A 4 ■—
A .Bi
a
Ce =
b,.a 5 -
A a . 1^6
€«.=>
B,.A^_,—
A .- R f*
Di =
c 4 .b 4 -
B.. C,
D 6 =
C4.B5 —
B 3 .C 6
»,=
C4.B6 —
b 3 .c,
D^ =
Ct.B
Bi.C(»
E 0 -
D 5 .Ci —
C 4 .D t
E,=
Di.C6 —
Ct.D,
E, =
Di.C, -
C4.D,
*? =
Ds.Cft—1 —
C*. D/i
F, =
E*.D 6 —
Di.E ?
F. -
e 6 .d, -
D S .E,
F, =
E c .D 8 —
Di.E,
F,« =
E c .Dpt—t—
Di. E,^
Gs =
F,.E, -
Es. Fj
G 9 =
f,.e 8 -
E,.F #
G 10 =
F,-E 0 -
E 6 I'
11
O
F 7 .E«—1—
e..f„
h, .■=
Ga.Fa —
1 A 7 . G 9
H.o =
Gs.F„ -
F,. G,.
H„ =
G.. F,. —
F,-G,
«/* =
G8.F^l —l-
F,. G^l
etc. =
etc.
et, formons ensuite les quantités générales
a„ — A 0a, = A,
A.
*
b 3
“ 3 *■ a..A.
C 4
A,.B 3