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a * = ëtjf;

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F,. G.etc. = etc.

dont la loi est manifeste.

A l’aide de ces dernières quantités, la générationtechnique delà fonction Fx, eu fraction continue, est

Fx = «o -f- a,.<fX

i -f- a t .yx

à la déduction des algorithmes qui répondent à la se*conde forme de transformation ; ces algorithmes n’ayantpoint été 1 objet d articles particuliers réclament quel-ques développemeus.

5. Dans la seconde forme générale de transforma-tion (c)

Fx = A X <>•*

la quantité A peut être indifféremment considéréecomme dépendante ou comme indépendante de la va-riable x, et c’est ce qui rend les transformations effec-tuées suivant cette seconde forme essentiellement dif-férentes de celles de la première forme. Examinons d’a-bord le cas où le facteur A est fonction deFx.

Lorsque le facteur A est dépendant de x, ce facteurest lui-même la mesure générale de la fonction Fx, desorte qu’il doit être tel que la valeur de x qui rendFx = o le rende aussi zéro , afin que le rapport

Fx

A

I + ü3.fX

I + rtl.ÿX

i -f- etc.

expression que l’on peut encore mettre sous la formeFx = a 0 -j-fx

en faisant

b, -{- yx

*.-Hpx

b 3 +ÿx

-f- etc.

ne devienne pas indéfini et, par conséquent, que lafonction 4>x qui est l’expression dece rapport puisse êtredéterminée dans tous les cas. Cependant il est impor-tant de remarquer que la fonction de x qui forme lefacteur A reste indéterminée quant à sa nature, quoi-qu’elle soit déterminée par rapport à sa valeur, d’aprèsla circonstance que nous venons de signaler, et que l’onpeut ainsi faire dépendre cette fonction d’une fonctionquelconque arbitraire tpx prise pour mesure.

Désignons donc par^x la fonction représentée gé-néralement par A et dépendante de la mesure <fx , etnous aurons suivant la forme (c) la première transfor-mation

Fx = f Q x X t’oX

i 1 i 1 , i . i

b, = —, b, =- , b s =- t- , b. t — -j- , etc.

a , a,, b, «3. b, ai.b ,

et, en général ,

cip. b i

Nous avons exposé ailleurs la déduction et la démon-sLiation de ces lois. (Fie iy. Fractions continues et Sé-ries) , et nous n’avons sans doute pas besoin de faireobserver ici qu’elles donnent d’une manière généraleou universelle la génération technique d’une fonctionquelconque Fx d’un variable x , à l’aide d’une fonctionentièrement arbitraire fX delà même variable. Les dé-tails dans lesquels nous sommes entrés mettent danstout son jour l’importance des algorithmes techniquesprimitifs des séries et des fractions continues, ainsinous ne nous y arrêterons pas davantage pour procéder

Observons maintenant que la fonction fx doit êtrenécessairement de la forme fX — y 0 , désignant icila valeur qui résulte pour la fonction arbitraire qxlorsqu’on donne à x la valeur qui rend Fx = o , carle rapport

Fx

qx—y a

ou la quantité 4 > 0 x, se trouve de cette manière parfaite-ment déterminable dans tous les cas.

Ainsi, comme tout ce que nous avons dit pour lafonction Fx s’applique exactement à la fonctionet que nous avons évidemment, pour seconde transfor'mation, toujours suivant la forme (c),

<t> 0 x =fx X

le facteur /ix,'dépendant de la mesure qx , doit être