TH

aussi de la même forme <px — y,, y, étant la valeur defx lorsqu’on donne à la variable x la valeur qui rend*oX = o; cette seconde transformation donnera

<t><,x

<t> x — -

?x~ y,

ou

Fx

y - i ___

(?•» —yo) (<?% — r.)

Opérant sur la fonction <t>,x comme nous l’avons faitsur les fonctions Fx et <J>„x, en posant de nouveau

t.x = f t x X <P,x;

la fonction f,x sera de la forme <fX — y t , y 2 étant la va-leur de <fX qui correspond à la valeur de x donnée parla relation 4 >iX= o, et nous aurons

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que M. Wronski nomme Produites continues. La va-leur de la constante 4»^ pourra toujours être déterminéepar la relation particulière que donne l’expression gé-nérale (e) dans le cas de toute valeur déterminée de x.

6. La détermination des facteurs y. x—y 0 ,tfx — y ,, etc.qui donne en produite continue l’évalution d’une fonc-tion quelconque Fx, doit toujours être obtenue à l’aidede cette fonction et de sa mesure arbitraire yx, mais laloi de cette détermination ou la loi fondamentale del’algorithme technique des produites continues n’estpoint encore donnée, M. Wronski avait annoncé qu’illa ferait connaître dans une suite de sa Philosophie de latechnie ; celte suite n’a point été publiée.

A défaut de cette loi fondamentale nous ferons ob-server que toute fonction Fx pouvant être développéeen une série {f)

Fx=A 0 -j-A,yx-f- A 4 >x« + A 3 yx 3 -f- A $x 4 -f- etc.

d’où, encore,

Fx

*' x ~ (?*—r.)

et la quantité 4 >,x sera déterminable pour toutes lesvaleurs de x.

Procédant de la même manière dans l’évaluation gé-nérale des fonctions successives

procédant suivant les puissances progressives d’unefonction arbitraire <fx , cette série égalée à zéro formeune équation d’un degré infini qui admet un nombreinfini de valeurs pour la fonction <fX [yoy. Mathé-matiques, 8). Ainsi désignant par^o une de ces valeursde yx et par x, la valeur de x qui lui correspond,nous aurons d’une part Fx, = o et de l’autre le se-cond nombre de l’expression (f ) ou l’équation du de-gréinfini sera exactement divisible par le facteur <fx —^'o,et plus généralement par le facteur

't> 0 X , 4>,X, <D.X, <t>3X, 4\iX, etc.

Nous obtiendrons évidemment pour un indice quel-conque p la valeur (d)

Fx

*** ~(^-yo) (fx-y .).... (fx—yp.)

Mais dans cette évaluation successive des fonctions'•'«x, <t > iX , 0 , x , etc. il est visible par la forme même (d)de ces quantités qu’on épuise de plus en plus l’influencede la variable x dans la fonction Fx , de sorte que l’ondoit nécessairement arriver, du moins à l’infini, à unequantité <t>jiX telle que l’influence de la variable x y soitnulle ou du moins infiniment petite. Donc, en dési-gnant seulement par «fy cette dernière quantité, que1 ou doit considérer comme une constante, nous auronsdéfinitivement, en vertu de la formule (d ), l’expres-sion (<?}

Fx=4>u { (fX—y 0 ) (fx—y,) (fx—y,).. .fox—yf )}

Telle est, surtout lorsque p est infini, la générationtechnique ou l’évaluation de la fonction Fx par lemoyen du troisième algorithme technique élémentaire

m,<fx — m<y„

m t étant une quantité constante. Opérant cette divisionnous trouverons

Ao + A.ÿX-f-A.fx' + AjfxS-f-Atfxt+etc... =

(m.?x — m,y 0 ) (B„ -f- B.yx -f- B.yx* -f- B 3 ÿx 3 -j- etc... )/

eu posant

B

a

B, = —

Ai /u,Bom,y 0

g _ _ A, -f* uiiBi g _ _ Ab -|- m,B,

* rn t y. ’ ’ m,ij°

etc., etc.

Or, en désignant poryi,y ,, y ,, etc. à l’infini les au-tres racines de l’équation infinie, comme nous auronsévidemment

A„-)-A.^x-f-A,iyx*-(- A3fX 3 -f-A<yx 4 -j-etc... =

(rn,' f x—m t y 0 ) (mjx—m.y,) (m^x—nny.) .. etc.

Nous en conclurons

F * = M { (yx-y») (<fx—y t ) fa—y ,)... }