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M désignant le produit des quantités constantes m ,,nu, tm , etc.
Ainsi, lorsque par la nature de ia fonction Fa;, l’é-quation Fa; = o aura un nombre infiui de racines etqu’on pourra connaître ces racines, ou obtiendra immé-diatement les valeurs yo, y,, y t , etc. qui résultentpour fX de la substitution successive de chacune de cesracines à la place de x et l’on parviendra à l’évaluationde la fonction Fa; en produite continue. C’est ce quel’exemple suivant fera mieux comprendre.
7. Soit sin x la fonction de x qu’il s’agit d’évalueren produite continue au moyen de la mesure géné-rale <fx. En posant l’équation
TH
a étant une valeur arbitraire si l’on fait a = O, le pre-mier facteur
sin a
ç>a — <p( o)
se réduit à - , et pour obtenir sa valeur, il faut prendre
les différentielles de son numérateur et de son dénomi-nateurpar rapport à la variable a (roy. Différences, 47).On trouve de cette manière
sin a cos a 1
<pa — <p[ o) fd<pd\ f d<pa\
\ da J V da J
sin x = o
on voit que cette équation est satisfaite lorsqu’on donneà x la valeur
x = nnz, car sin mn =
m étant un nombre entier quelconque et n la demi cir-conférence du cercle dont le rayon est l’unité (voy. Si-nus ), x admet donc un nombre indéfini de valeurs cor-respondant à tous les nombres entiers positifs et négatifsque l’on peut prendre pour m, et la valeur générale ypde <fx est
y (* = v’-p*)-
Faisant donc successivement p — o, p — 1 , p = — 1,p = 2, ft = — 1 , etc. nous aurons (g)
sin x = M { (fX— ? (o)) (<fx—<?[*)) (fX —<*>(—*)) X(<fX—<f[ln)) ( Ÿ x—<p(—27r)) .}
à cause de cos a =2 cos 0=1. Remettant donc x à laplace de a et marquant par un point placé sur cette va-riable, x , la valeur o qu’il faut lui donner après ladifférentiation , nous aurons définitivement ( h)
s.nx =
c
-y -—~— . i 0 X -d>{o)). *
d<Px\ <p( 0 )-(p(n) *
dx J
<px—< p(— tt)A <P(o)— <P(— n) *
y <Px~<P{™ ) v
X • • '. etc.
8. L désignant le logarithme naturel , si nous pre-nons L(i+nx) pour la fonction arbitraire $x formantla mesure de l’évaluation, nous trouverons
Pour déterminer la constante M donnons une valeurquelconque déterminée a à la variable x et nous ob-tiendrons
sin a
M:
(f a — tf(o)) ¥>(*)) (ya—c^—jr)).... etc.
Ainsi, substituant cette valeur dans (g), il viendra
<p(ir,
sin a
va—if>(o)
•(?■*—?( o))
?«—î>(7r)fX—f(—Tz )
?a—f(—n)
X
X
if> r—f(o.n)fa —
?a-<p(— 2 K) *
X.etc
f d <px \ _ _
\ dx J (1et, par suite, (t)
ndx
(1 -\-nx)dx
l
Vt-f-wir/
sin x = - . L( 1 -f nx) . —; — Vn v L(,i+/ur) ^
, Vi — nny
x -H ,-=^T x
L (
y V'+ W..
L( 1 -j--an7r) ^
X
etc.