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TH JU9

( J *f" ôcT*^) — 00 ( (* 4*ôS" X) ') —co-Xet, par conséquent ,

! « + »-x)

l’expression (i) devient dans ce cas

«n* = x(,-j)( , + ï)(i-£)(i+0..etc.

C’est la première produite continue découverte parJean Bernouilli. L’élégante déducûou que nous venousd’en donner appartient à M. Wronski. (P'oy. Phil. dede la technie , première section.)

9. Il existe une autre espèce de produites continuesdans lesquelles les facteurs forment une progressionarithmétique ; telle est, par exemple, la produite

2. 4 • 6.8.1 o. 13.14 • etc... à l’infini.

Leur forme générale

(x-p2/'J (x+ 3 /-) (x-|-4r).... à i infini,

m;r njr njr mjr

a .(a-J-wr) = a . (a+wr)

d’où l’on tire

mjr n\r

a a

mjr n\r

(a+nr) ( a+mr )

Si nous faisons dans cette dernière n = co et m = -,

r

il viendra (A)

{nrf

(.x+P)

00 |r

car la base a -}- nr devenant infinie, l'accroissementfini m’exerce plus aucune influence sur les divers fac-teurs de la factorielle (a+nr) m \ r qni se réduit alors àune simple puissance.

Pour toute autre base b et tout autre accroissement s,nous trouverons de la même manière

00 \s

(*+ 7 )

00 \s

n ous montre qu’elles sontidentiqnes avec la factorielle

m\r

X

ainsi divisant l’égalité (k) par cette dernière, nous obtiendrons

lorsque m — co . M. Wronski les nomme produitescontinues factorielles.

Ces produites factorielles ne peuvent généralementdonner des valeurs déterminées que dans leurs rap-ports , et c’est ainsi que Wallis, qui les a considérées lepremier, a trouvé pour le nombre v , ou la demi-cir-conférence dont le rayon est l’unité , l’expression re-marquable

30 r 30 | S T

n -(b+q ) __ (a »)

30 \s 30 | r p

b - (a +^ (00,7

ce rapport ne peut admettre des valeurs finies qu’autantqu’il existe entre les quantités p, <7, r, s, la relation

q P

qr = sp , ou - =

1 2 . 3 . 4. 4 . 6 . 6 . 8.8.IQ.1Q. etc .

7 = i, 3 ” 575,5 . 7.9. 9.11. etc.

On nous saura gré sans doute d’indiquer ici le moyend’obtenir le rapport de ces produites factorielles.

m-J-njr

10. La factorielle à exposant binôme a pouvant-tre décomposée en factorielles à exposans monomesdes deux manières suivantes (voy. Factorielles, 3 )

mais dans ce cas, en faisant - = ^ — m

s r

y on a

» jr ao ]i

a + 7)

00 \s 30 [r

b .(a+p)

mjr

a

m *

b

Lorsque les accroissemens set r sont égaux , ce qui en-traîne l’égalité des quantités p et <7, celte dernière for-mule se réduit à

m+njr m\r n|r

a = a .(a+mr)

m-{-n\r nj/ mjr

a = a .(a+nr) ,

a -{b + P)

00 jr

b .(a + p)

00 |r

a 1P\

b r l 1

il en résulte l’égalité

ce qui est la même chose que ( l ) ,